Se f(x) e g(x) são periódicas de período T, prove que: h(x) = f(x) * g(x) é periódica de período T.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para provar que se duas funções periódicas, e , têm período , então o produto delas, , também é uma função periódica com o mesmo período . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função periódica e como o período se comporta quando multiplicamos duas funções periódicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser periódica. Uma função é dita periódica de período se, para todo valor de , a seguinte igualdade é verdadeira:
Isso significa que o gráfico da função se repete a cada intervalo de comprimento .

Passo 3

Agora, queremos provar que também é periódica de período . Para isso, vamos calcular e ver se ela é igual a :

Passo 4

Sabemos que tanto quanto são periódicas de período . Ou seja:

Passo 5

Substituindo essas igualdades na expressão de , temos:
Isso é exatamente igual a :

Resposta

Portanto, é uma função periódica com período .

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