Uma função
tem as seguintes características:
(i) existem dois números
e
, com
, tais que se
então
(ii)
.
Conclua que
é periódica e exiba um período dela.
(i) existem dois números
(ii)
Conclua que
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma função
que possui duas propriedades:
- Existem dois números
e , onde , e para qualquer no conjunto , os valores , , e também pertencem a . - A função satisfaz
para todo em .
Nosso objetivo é mostrar que
é uma função periódica e encontrar um período para ela. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser periódica e como usar as propriedades dadas para encontrar o período.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função periódica. Uma função
é periódica se existe um número
tal que
para todo
no domínio da função. O menor valor positivo de
que satisfaz essa condição é chamado de período fundamental da função.
Agora, vamos usar as informações fornecidas:
- Sabemos que
. Vamos manipular essa equação para relacionar com e identificar um período .
Passo 3
Observe que
. Podemos reescrever isso da seguinte forma:
Subtraindo
de ambos os lados dentro da função, temos:
Simplificando:
Passo 4
A equação
mostra que adicionar
a
não altera o valor de
. Isso significa que
se repete a cada
, ou seja,
é um período de
.
Passo 5
Concluímos, portanto, que a função
é periódica e um período dela é
.
Resposta
A função
é periódica e um período dela é
.