Decida se as funções abaixo são deriváveis no ponto x0=0.
f(x)=l0, se x<0 3 x, se x >= 0
f(x)=l0, se x <= 0 x^2, se x>0
f(x)=lx^2 sen (x^-1), se x neq 0 0, se x=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar a derivabilidade em x0=0 de três funções dadas por partes. Para isso vamos usar a definição de derivada em um ponto:
f'(0)=limhto0f(0+h)-f(0)h,
e, no caso de funções por partes, comparamos as derivadas laterais pela esquerda e pela direita.

Passo 2

Analisando
f1(x)= 0,&x<0, 3x,&x>=0,
calculamos a derivada lateral pela esquerda:
f'1-(0)=limhto0^-f1(h)-f1(0)h =limhto0^-0-0h=0,
e pela direita:
f'1+(0)=limhto0^+3h-0h =limhto0^+3=3
Como 0neq3, não há derivada em 0 para f1.

Passo 3

Analisando
f2(x)= 0,&x<=0, x^2,&x>0,
vemos que
f'2-(0)=limhto0^-0-0h=0, f'2+(0)=limhto0^+h^2-0h =limhto0^+h=0
Como ambas as derivadas laterais são iguais a 0, f2 é derivável em 0 e f'2(0)=0.

Passo 4

Analisando
f3(x)= x^2sinl(x^-1r),&xneq0, 0,&x=0,
calculamos
f'3(0)=limhto0h^2sin(1/h)-0h =limhto0hsin(1/h)
Como l|hsin(1/h)r|<=|h|to0, segue que f'3(0)=0. Logo f3 é derivável em 0.

Resposta

Para f1 não existe derivada em 0.
Para f2 e f3 existe derivada em 0, em ambos os casos f'(0)=0.

Exercícios relacionados