Resolva fazendo a substituição v=y^prime :
(d) y^prime prime+y(y^prime)^3=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + y,(y')^3 = 0
fazendo a substituição v = y'.
O conteúdo aqui é redução de ordem de uma EDO de segunda ordem não linear, usando a regra da cadeia para expressar y'' em termos de v e y.

Passo 2

Com v = dydx, temos
y'' = dvdx = dvdy,dydx = v,dvdy
Substituindo em y'' + y,(y')^3 = 0 obtemos
v,dvdy + y,v^3 = 0

Passo 3

Assumindo momentaneamente vneq0, dividimos toda a equação por v:
dvdy + y,v^2 = 0
Isso é uma EDO de primeira ordem em v(y), que pode ser separada.

Passo 4

Reescrevendo para separar as variáveis:
dvv^2 = -,y,dy
Agora integramos ambos os lados:
integral dvv^2 = integral -,y,dy Longrightarrow -1v = -y^22 + C1,
onde C1 é constante de integração.

Passo 5

Da relação acima vem
1v = y^22 - C1 Longrightarrow v = 1tfracy^22 - C1 = 2y^2 - 2C1
Chamando C1' = -2C1, simplificamos para
v = dydx = 2y^2 + C1'
Separamos de novo as variáveis:
(y^2 + C1'),dy = 2,dx

Passo 6

Integramos mais uma vez:
integral (y^2 + C1'),dy = integral 2,dx Longrightarrow y^33 + C1',y = 2x + C2,
onde C2 é nova constante de integração. Essa é a solução geral, em forma implícita.

Resposta

y^33 + C1,y = 2x + C2,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados