Encontre a solução geral das equações:
(a) y^prime prime+5 y^prime+6 y=x e^-5 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 5y' + 6y = x e^-5x
O conteúdo é resolução de EDO linear não-homogênea, usando (1) solução geral da homogênea via equação característica e (2) método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular.

Passo 2

Encontramos primeiro a solução da homogênea
y'' + 5y' + 6y = 0
A equação característica é
r^2 + 5r + 6 = 0
cuja fatoração (r+2)(r+3)=0 dá raízes r=-2 e r=-3. Logo
yh(x) = C1 e^-2x + C2 e^-3x

Passo 3

Para a parte particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo não-homogêneo é x e^-5x e -5 não é raiz da característica, escolhemos
yp(x) = (A x + B) e^-5x
Calculamos
yp' = l(-5A x + A -5Br)e^-5x,
yp'' = l(25A x +(-10A +25B)r)e^-5x

Passo 4

Substituindo yp, yp' e yp'' em y''+5y'+6y obtém-se
yp'' + 5yp' + 6yp = l(6A x +(-5A+6B)r)e^-5x
Essa expressão deve ser igual a x e^-5x. Igualando coeficientes de x e termo constante:
6A = 1 Longrightarrow A = tfrac16,
-5A + 6B = 0 Longrightarrow 6B = tfrac56 Longrightarrow B = tfrac536
Portanto
yp(x) = l(tfrac16 x + tfrac536r)e^-5x

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^-2x + C2 e^-3x + l(tfrac16 x + tfrac536r)e^-5x

Resposta

boxedy(x) = C1 e^-2x + C2 e^-3x + l(tfrac16 x + tfrac536r)e^-5x

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