Decida quais das integrais impróprias abaixo são convergentes e quais são divergentes:
\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{3}+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da integral imprópria
\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{3}+x^{2}}\,dx
Temos singularidade em x=0. Vamos examinar o comportamento próximo a zero e calcular explicitamente a antiderivada por frações parciais para ver se o limite existe finito.

Passo 2

Escrevemos a função integranda como
\frac{1}{x^{3}+x^{2}} =\frac{1}{x^{2}(x+1)}
e fazemos a decomposição em frações parciais. Buscamos constantes A, B, C tais que
\frac{1}{x^{2}(x+1)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x+1}.
Igualando numeradores obtemos B=1, A=-1 e C=1. Logo
\frac{1}{x^{2}(x+1)} =-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x+1}.

Passo 3

Integramos termo a termo para obter uma primitiva F(x):
F(x)=\int\!\Bigl(-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x+1}\Bigr)\,dx =-\ln x-\frac{1}{x}+\ln(x+1)+C.

Passo 4

Avaliamo-la entre x=\delta e x=1:
\int_{\delta}^{1}\frac{1}{x^{2}(x+1)}\,dx =F(1)-F(\delta) =\bigl(-1+\ln2\bigr)-\bigl(-\ln\delta-\tfrac{1}{\delta}+\ln(\delta+1)\bigr).
Isso dá
\frac{1}{\delta}+\bigl(\ln\delta-\ln(\delta+1)\bigr)+(\ln2-1).

Passo 5

Ao fazermos \delta\to0^{+}, o termo \tfrac{1}{\delta} cresce sem limite, dominando os demais, de modo que o valor da integral tende a +\infty. Portanto não há convergência.

Resposta

A integral é divergente.

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