Decida quais das integrais impróprias abaixo são convergentes e quais são divergentes:
Passo 1
O enunciado pede para decidir a convergência da integral imprópria
Temos singularidade em
. Vamos examinar o comportamento próximo a zero e calcular explicitamente a antiderivada por frações parciais para ver se o limite existe finito.
Passo 2
Escrevemos a função integranda como
e fazemos a decomposição em frações parciais. Buscamos constantes
,
,
tais que
Igualando numeradores obtemos
,
e
. Logo
Passo 3
Integramos termo a termo para obter uma primitiva
:
Passo 4
Avaliamo-la entre
e
:
Isso dá
Passo 5
Ao fazermos
, o termo
cresce sem limite, dominando os demais, de modo que o valor da integral tende a
. Portanto não há convergência.
Resposta
A integral é divergente.