Em cada um dos itens abaixo, encontrar a expressão da função f^{\prime}: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, onde f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, é dada por
f(x)=\int_{0}^{4 x} \operatorname{sen}^{10}(t) d t

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\int_{0}^{4x}\sin^{10}(t)\,dt
e pede f'(x). O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a Regra da Cadeia, pois o limite superior da integral é a função 4x.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
F(x)=\int_{a}^{u(x)}g(t)\,dt,
então
F'(x)=g\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).

Passo 3

No nosso caso, g(t)=\sin^{10}(t) e u(x)=4x. Logo u'(x)=4. Aplicando a fórmula:
f'(x)=\sin^{10}\bigl(4x\bigr)\cdot 4.

Resposta

f'(x)=4\sin^{10}(4x)

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