Decida quais das integrais impróprias abaixo são convergentes e quais são divergentes:
\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{3}+2 x^{2}+x} d x

Passo 1

O enunciado fornece a integral imprópria \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{x^{3}+2x^{2}+x}\,dx.
Note que o denominador se anula em x=0, gerando uma singularidade no limite inferior. Vamos usar fatoração do denominador e o critério de comparação para decide­r convergência.

Passo 2

Fatoramos o polinômio do denominador:
x^{3}+2x^{2}+x \;=\; x\bigl(x^{2}+2x+1\bigr)\;=\;x(x+1)^{2}.
Portanto
\frac{1}{x^{3}+2x^{2}+x} =\frac{1}{x(x+1)^{2}}.
Para x\in(0,1] vale (x+1)^{2}\le4, de onde
\frac{1}{x(x+1)^{2}}\;\ge\;\frac{1}{4x}.

Passo 3

A integral \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{4x}\,dx =\tfrac14\int_{0}^{1}\frac{1}{x}\,dx
é divergente (comportamento logarítmico infinito em 0). Pelo critério de comparação, como \frac{1}{x(x+1)^{2}}\ge\frac{1}{4x} em (0,1], a integral original também diverge.

Resposta

A integral é divergente.

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