Decida quais das integrais impróprias abaixo são convergentes e quais são divergentes:
\int_{3}^{\infty} e^{-2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria
\int_{3}^{\infty} e^{-2x}\,dx
que é um caso de integral com limite superior infinito. Vamos usar o conceito de integral imprópria do tipo I, substituindo o infinito por um parâmetro e avaliando o limite.

Passo 2

Calculamos a primitiva de e^{-2x}. Como a derivada de -\tfrac12e^{-2x} é e^{-2x}, temos
\int e^{-2x}\,dx = -\tfrac12 e^{-2x} + C.

Passo 3

Definimos
I(R)=\int_{3}^{R}e^{-2x}\,dx
e usamos a primitiva para obter
I(R)=\Bigl[-\tfrac12e^{-2x}\Bigr]_{x=3}^{x=R} =-\tfrac12e^{-2R}-\bigl(-\tfrac12e^{-6}\bigr) =\tfrac12e^{-6}-\tfrac12e^{-2R}.

Passo 4

Tomamos o limite quando R\to\infty. Como e^{-2R}\to0, segue que
\lim_{R\to\infty}I(R) =\tfrac12e^{-6}-\tfrac12\underbrace{e^{-2R}}_{\to0} =\tfrac12e^{-6},
que é um número finito.

Resposta

A integral é convergente e vale \displaystyle \tfrac12e^{-6}.

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