Decida quais das integrais impróprias abaixo são convergentes e quais são divergentes:
\int_{8}^{\infty} x^{-\frac{4}{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
\int_{8}^{\infty} x^{-\frac{4}{3}} \, dx
é convergente ou divergente.
O conteúdo é p-integrais no infinito: sabemos que
\int_{a}^{\infty} x^{-p}\,dx
converge se, e somente se, p>1.

Passo 2

Aqui temos p=\tfrac{4}{3}. Como
\tfrac{4}{3}>1,
pela regra das p-integrais no infinito concluímos que a integral é convergente.

Passo 3

Para encontrar o valor, calculamos
\int x^{-\frac{4}{3}}\,dx.
Uma primitiva é
\int x^{-\frac{4}{3}}\,dx = \frac{x^{-\frac{4}{3}+1}}{-\frac{4}{3}+1} = \frac{x^{-\frac{1}{3}}}{-\tfrac{1}{3}} = -3\,x^{-\frac{1}{3}}.

Passo 4

Agora fazemos o limite de 8 até um parâmetro b\to\infty:
\int_{8}^{\infty} x^{-\frac{4}{3}}\,dx = \lim_{b\to\infty}\Bigl[-3\,x^{-\tfrac{1}{3}}\Bigr]_{8}^{b} = \lim_{b\to\infty}\bigl(-3\,b^{-\tfrac{1}{3}} + 3\cdot 8^{-\tfrac{1}{3}}\bigr).
Como b^{-\tfrac{1}{3}}\to0 quando b\to\infty, sobra
3\cdot 8^{-\tfrac{1}{3}} = 3\cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.

Resposta

A integral é convergente e vale \tfrac{3}{2}.

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