Decida quais das integrais impróprias abaixo são convergentes e quais são divergentes:
\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x \ln (x)} d x

Passo 1

Temos a integral imprópria
\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x\,\ln(x)}\,dx,
que é impropriedade do tipo infinito no limite superior. O conteúdo que vamos usar é a técnica de mudança de variável para transformar essa integral numa forma conhecida (a integral de 1/t).

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \ln(x),
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dt = \frac{1}{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = x\,dt.
Como x=e implica t=1 e x\to\infty implica t\to\infty, os limites mudam de x\in[e,\infty) para t\in[1,\infty).

Passo 3

Na integral original temos
\frac{1}{x\,\ln(x)}\,dx = \frac{1}{x\,t}\,\bigl(x\,dt\bigr) = \frac{1}{t}\,dt.
Portanto a integral se torna
\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x\,\ln(x)}\,dx = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{t}\,dt.

Passo 4

Avaliamo-la conhecendo que
\int_{1}^{T} \frac{1}{t}\,dt = \ln(T),
e ao deixar T\to\infty temos
\lim_{T\to\infty}\ln(T) = \infty.
Logo a integral diverge (cresce sem limite).

Resposta

A integral
\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x\,\ln(x)}\,dx
é divergente.

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