Decida quais das integrais impróprias abaixo são convergentes e quais são divergentes:
Passo 1
O enunciado apresenta a integral imprópria
e pede para decidir se ela converge ou diverge. Vamos usar teoria de testes de convergência e uma mudança de variável para identificar seu comportamento no infinito.
Passo 2
Note que o único problema de convergência ocorre em
. Quando
é grande, temos
e, em seguida,
Logo o integrando se comporta como
e como a integral
converge (pois
), isso sugere convergência por comparação.
Passo 3
Para confirmar e até calcular o valor, fazemos a substituição
Quando
temos
, e quando
temos
. A integral vira
Passo 4
A última integral é uma integral de uma função contínua em
, logo convergente, e seu valor é
Resposta
A integral
é convergente (valor
).