Decida quais das integrais impróprias abaixo são convergentes e quais são divergentes:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado apresenta a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\,dx
e pede para decidir se ela converge ou diverge. Vamos usar teoria de testes de convergência e uma mudança de variável para identificar seu comportamento no infinito.

Passo 2

Note que o único problema de convergência ocorre em x\to\infty. Quando x é grande, temos \tfrac{1}{x}\to0 e, em seguida,
\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\sim \tfrac{1}{x}.
Logo o integrando se comporta como
\frac{1}{x^{2}}\cdot \frac{1}{x} \;=\;\frac{1}{x^{3}},
e como a integral \int_{1}^{\infty}x^{-3}dx converge (pois 3>1), isso sugere convergência por comparação.

Passo 3

Para confirmar e até calcular o valor, fazemos a substituição
t=\tfrac{1}{x}, \quad dt=-\frac{1}{x^{2}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x^{2}}\,dx=-dt.
Quando x=1 temos t=1, e quando x\to\infty temos t\to0. A integral vira
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\,dx =\int_{t=1}^{0}\operatorname{sen}(t)\,(-dt) =\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(t)\,dt.

Passo 4

A última integral é uma integral de uma função contínua em [0,1], logo convergente, e seu valor é
\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(t)\,dt =\bigl[-\cos(t)\bigr]_{0}^{1} =1-\cos(1).

Resposta

A integral
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\,dx
é convergente (valor 1-\cos(1)).

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