Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
integral2^infty d xx^alpha ln x, alpha>0

Passo 1

A integral imprópria em questão é
integral2^infty dxx^alphaln x, alpha>0
O conteúdo principal é teste de convergência de integrais impróprias e faremos uma mudança de variável para simplificar.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = ln x Longrightarrow x = e^t, dx = e^t,dt
Quando x varia de 2 até ∞, temos t variando de ln2 até ∞.

Passo 3

Substituindo na integral:
integral2^infty dxx^alphaln x = integralln2^inftye^t,dte^alpha t,t = integralln2^inftye^(1-alpha)tt,dt

Passo 4

Para estudar o comportamento em ∞, note que o integrando é equivalente a e^-(alpha-1)t/t. Se alpha>1, o fator exponencial decai rapidamente e a integral converge; se alpha<=1, o termo exponencial não é suficiente para anular a singularidade em ∞ e a integral diverge.

Passo 5

Para alpha>1 podemos expressar o valor exato usando a função integral exponencial de primeira ordem E1:
integral2^infty dxx^alphaln x = integral(alpha-1)ln2^infty e^-uu,du = E1l((alpha-1)ln2r)

Passo 6

Como o integrando é estritamente positivo para todo x>2, a convergência é automaticamente absoluta quando ocorre.

Passo 7

Resposta

A integral converge se e somente se alpha>1, e nesse caso vale
integral2^infty dxx^alphaln x = E1l((alpha-1)ln2r)
Como o integrando é positivo, ela é absolutamente convergente para alpha>1.

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