Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
A integral imprópria em questão é
O conteúdo principal é teste de convergência de integrais impróprias e faremos uma mudança de variável para simplificar.
Passo 2
Fazemos a substituição
Quando x varia de 2 até ∞, temos t variando de
até ∞.
Passo 3
Substituindo na integral:
Passo 4
Para estudar o comportamento em ∞, note que o integrando é equivalente a
. Se
, o fator exponencial decai rapidamente e a integral converge; se
, o termo exponencial não é suficiente para anular a singularidade em ∞ e a integral diverge.
Passo 5
Para
podemos expressar o valor exato usando a função integral exponencial de primeira ordem
:
Passo 6
Como o integrando é estritamente positivo para todo
, a convergência é automaticamente absoluta quando ocorre.
Passo 7
Resposta
A integral converge se e somente se
, e nesse caso vale
Como o integrando é positivo, ela é absolutamente convergente para
.