Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para decidir a convergência da integral impropria
Para isso vamos usar testes de comparação assintótica nos pontos singulares em 0 e em ∞.
Passo 2
Vamos estudar o comportamento quando x → 0. Note que
Logo o integrando se comporta como uma constante
Como ∫₀^ε constante·dx é finito, não há divergência em 0.
Passo 3
Agora analisamos x → ∞. Temos
Então o integrando se comporta como
E como ∫^∞ x^{-4/3}dx converge (exponente 4/3>1), a integral não diverge em ∞.
Passo 4
Portanto a integral é convergente. Como o integrando é positivo, a convergência é absoluta.
Passo 5
Para tentar calcular o valor exato teríamos que achar uma primitiva, mas não existe expressão em funções elementares. Ela só pode ser escrita em termos de funções especiais (por exemplo integrais elípticas ou Beta incompleta).
Resposta
A integral converge e é absolutamente convergente, mas não admite expressão em funções elementares.