Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
integral0^infty raizx^2+2012raiz[3]x^7+3 x^3+2 d x

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da integral impropria
integral0^infty raizx^2+2012raiz[3]x^7+3x^3+2,dx
Para isso vamos usar testes de comparação assintótica nos pontos singulares em 0 e em ∞.

Passo 2

Vamos estudar o comportamento quando x → 0. Note que
raizx^2+2012simraiz2012, raiz[3]x^7+3x^3+2simraiz[3]2
Logo o integrando se comporta como uma constante
raiz2012raiz[3]2
Como ∫₀^ε constante·dx é finito, não há divergência em 0.

Passo 3

Agora analisamos x → ∞. Temos
raizx^2+2012sim x,
raiz[3]x^7+3x^3+2sim x^7/3
Então o integrando se comporta como
xx^7/3=x^-4/3
E como ∫^∞ x^{-4/3}dx converge (exponente 4/3>1), a integral não diverge em ∞.

Passo 4

Portanto a integral é convergente. Como o integrando é positivo, a convergência é absoluta.

Passo 5

Para tentar calcular o valor exato teríamos que achar uma primitiva, mas não existe expressão em funções elementares. Ela só pode ser escrita em termos de funções especiais (por exemplo integrais elípticas ou Beta incompleta).

Resposta

A integral converge e é absolutamente convergente, mas não admite expressão em funções elementares.

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