Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
integral0^+infty x^alpha-1e^x-1 d x, alpha>0

Passo 1

Vamos resolver a integral imprópria I(alpha)=integral0^+inftyx^alpha-1e^x-1,dx para alpha>0. O conteúdo é análise de convergência de integrais impróprias, e vamos precisar estudar o comportamento do integrando em xto0^+ e em xto+infty.

Passo 2

Perto de zero, usamos a expansão e^x-1sim x. Assim
x^alpha-1e^x-1simx^alpha-1x=x^alpha-2
Uma integral integral0 x^alpha-2,dx converge se o expoente alpha-2>-1, ou seja
alpha>1
No infinito, temos e^x-1sim e^x, então
x^alpha-1e^x-1sim x^alpha-1e^-x,
e x^alpha-1e^-x decai exponencialmente, garantindo convergência para todo alpha>0.

Passo 3

Concluímos que a integral I(alpha) converge exatamente quando alpha>1; diverge se 0.
Para alpha>1, existe a fórmula clássica
I(alpha)=integral0^inftyx^alpha-1e^x-1,dx=Gamma(alpha),zeta(alpha),
Como o integrando é positivo em todo o domínio, a convergência obtida é automaticamente absoluta para alpha>1.

Resposta

A integral converge se e somente se alpha>1, valendo então Gamma(alpha)zeta(alpha). Nesse caso ela é também absolutamente convergente. Para 0 a integral diverge.

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