Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
Vamos resolver a integral imprópria
para
. O conteúdo é análise de convergência de integrais impróprias, e vamos precisar estudar o comportamento do integrando em
e em
.
Passo 2
Perto de zero, usamos a expansão
. Assim
Uma integral
No infinito, temos
, então
e
Passo 3
Concluímos que a integral
converge exatamente quando
; diverge se
.
Para , existe a fórmula clássica
Para
Como o integrando é positivo em todo o domínio, a convergência obtida é automaticamente absoluta para
.
Resposta
A integral converge se e somente se
, valendo então
. Nesse caso ela é também absolutamente convergente. Para
a integral diverge.