Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
integral1^infty ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria integral1^inftyln x,dx, verificar se ela converge e, se sim, calcular seu valor e testar convergência absoluta. Vamos usar conteúdo de integrais impróprias e integração por partes.

Passo 2

Para calcular integral1^Rln x,dx fazemos integração por partes. Seja u=ln x e dv=dx. Então du=tfrac1xdx e v=x. Aplicando por partes:
integral1^Rln x,dx = xln x|1^R - integral1^Rxcdot1x,dx = l(Rln R - 1cdotln1r) - integral1^R1,dx
Como ln1=0 e integral1^R1,dx=R-1, temos
integral1^Rln x,dx = Rln R - (R-1) = Rln R - R + 1

Passo 3

Agora analisamos o limite quando Rtoinfty: o termo Rln R cresce sem limite, logo
limRtoinftyl(Rln R - R + 1r)=infty
Como o valor da integral tende a +infty, a integral é divergente. E, sendo ln x>0 para x>1, a integral de |ln x| também diverge, ou seja, não há convergência absoluta.

Resposta

A integral diverge ( +infty) e, portanto, não é absolutamente convergente.

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