Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a integral imprópria , verificar se ela converge e, se sim, calcular seu valor e testar convergência absoluta. Vamos usar conteúdo de integrais impróprias e integração por partes.
Passo 2
Para calcular fazemos integração por partes. Seja e . Então e . Aplicando por partes:
Como ln1=0 e integral1^R1,dx=R-1, temos integral1^Rln x,dx = Rln R - (R-1) = Rln R - R + 1
Passo 3
Agora analisamos o limite quando Rtoinfty: o termo Rln R cresce sem limite, logo
limRtoinftyl(Rln R - R + 1r)=infty
Como o valor da integral tende a +infty, a integral é divergente. E, sendo ln x>0 para x>1, a integral de |ln x| também diverge, ou seja, não há convergência absoluta.
Resposta
A integral diverge (+infty) e, portanto, não é absolutamente convergente.