Em um triângulo retângulo, ambos catetos estão aumentando uma taxa de 0,5 cm / s. Qual é a taxa de variação, em cm/s, da hipotenusa desse triângulo no instante em que um cateto mede 3 cm e o outro mede 4 cm ?
a) 0,3
b) 0,5
c) 0,7
d) 0,9
e) 1,0

Passo 1

O problema diz que num triângulo retângulo os catetos x e y crescem a 0,5 cm/s, e pede a taxa de variação da hipotenusa h no instante em que x=3 cm e y=4 cm. O conteúdo é de razões de variação relacionadas usando o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Escrevemos a relação pitagórica:
h^2 = x^2 + y^2
e sabemos que
dxdt = dydt = 0,5

Passo 3

Diferenciamos em relação ao tempo t usando derivada implícita:
2hdhdt = 2xdxdt + 2ydydt

Passo 4

Isolamos dhdt:
dhdt = xdxdt + ydydth

Passo 5

No instante dado, x=3, y=4 então h=raiz3^2+4^2=5. O numerador fica
3cdot0,5 + 4cdot0,5 = 3,5

Passo 6

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dhdt = 3,55 = 0,7 cm/s

Resposta

0,7 cm/s

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