Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
Temos a integral imprópria . O conteúdo aqui envolve integrais impróprias em limites infinitos e, mais especificamente, as chamadas integrais de Fresnel. Nosso objetivo é decidir se ela converge, calcular seu valor quando convergente e, depois, checar a convergência absoluta.
Passo 2
Observe que a função é par, ou seja, . Assim dá para escrever
Passo 3
Definimos a integral de Fresnel
Passo 4
É conhecido (por métodos de integração no plano complexo ou tabelas de Fresnel) que
Passo 5
Como resultado, a integral original converge e vale
Passo 6
Para testar a convergência absoluta, analisamos
Como |cos(x^2)| não decai para zero e oscila com valor médio estritamente positivo, essa integral se comporta como integrar uma constante positiva em [0,infty), o que diverge. Portanto não há convergência absoluta.
Resposta
A integral converge condicionalmente e tem valor raizpi/2. Ela não é absolutamente convergente.