Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.

Passo 1

Temos a integral imprópria integral-infty^+infty cos(x^2),dx. O conteúdo aqui envolve integrais impróprias em limites infinitos e, mais especificamente, as chamadas integrais de Fresnel. Nosso objetivo é decidir se ela converge, calcular seu valor quando convergente e, depois, checar a convergência absoluta.

Passo 2

Observe que a função cos(x^2) é par, ou seja, cos((-x)^2)=cos(x^2). Assim dá para escrever
integral-infty^+infty cos(x^2),dx = 2integral0^infty cos(x^2),dx,

Passo 3

Definimos a integral de Fresnel
C(t)=integral0^tcos(x^2),dx,

Passo 4

É conhecido (por métodos de integração no plano complexo ou tabelas de Fresnel) que
limttoinftyC(t)=integral0^inftycos(x^2),dx=raizpi8,

Passo 5

Como resultado, a integral original converge e vale
2cdotraizpi8=raizpi2,

Passo 6

Para testar a convergência absoluta, analisamos
integral-infty^inftyl|cos(x^2)r|,dx = 2integral0^infty|cos(x^2)|,dx,
Como |cos(x^2)| não decai para zero e oscila com valor médio estritamente positivo, essa integral se comporta como integrar uma constante positiva em [0,infty), o que diverge. Portanto não há convergência absoluta.

Resposta

A integral converge condicionalmente e tem valor raizpi/2. Ela não é absolutamente convergente.

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