Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
integral-infty^+infty sin(x^2),dx
converge e, em caso afirmativo, calcular o valor e verificar se é absolutamente convergente. O conteúdo envolve integrais impróprias, simetria de funções e as chamadas integrais de Fresnel.

Passo 2

Observamos que sin(x^2) é uma função par, pois sin((-x)^2)=sin(x^2). Logo
integral-infty^+infty sin(x^2),dx = 2integral0^infty sin(x^2),dx

Passo 3

Para calcular integral0^infty sin(x^2),dx, usamos o resultado clássico da integral de Fresnel. Podemos partir da integral complexa
integral0^infty e^-i x^2,dx = e^-ipi/4raizpi2,
cuja parte imaginária dá exatamente
integral0^infty sin(x^2),dx = raizpi2,Iml(e^-ipi/4r) = raizpi2cdot1raiz2 = raizpi8

Passo 4

Substituindo de volta na integral original, obtemos
integral-infty^+infty sin(x^2),dx = 2raizpi8 = raizpi2

Passo 5

Para testar a convergência absoluta, consideramos
integral0^infty |sin(x^2)|,dx
Como sin(x^2) oscila indefinidamente entre -1 e +1 e o comprimento de cada meia-oscilação não tende a zero rápido o suficiente, essa integral diverge (pode ser comparada a uma soma de retângulos de altura média não nula). Portanto não é absolutamente convergente.

Resposta

A integral integral-infty^+infty sin(x^2),dx converge condicionalmente e vale raizpi/2. Ela não é absolutamente convergente.

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