Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
converge e, em caso afirmativo, calcular o valor e verificar se é absolutamente convergente. O conteúdo envolve integrais impróprias, simetria de funções e as chamadas integrais de Fresnel.
Passo 2
Observamos que
é uma função par, pois
. Logo
Passo 3
Para calcular
, usamos o resultado clássico da integral de Fresnel. Podemos partir da integral complexa
cuja parte imaginária dá exatamente
Passo 4
Substituindo de volta na integral original, obtemos
Passo 5
Para testar a convergência absoluta, consideramos
Como
Resposta
A integral
converge condicionalmente e vale
. Ela não é absolutamente convergente.