Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria integral-infty^+inftysin(x^alpha),dx, com parâmetro alpha>0. O conteúdo envolvido é análise de convergência de integrais impróprias (condicional e absoluta) e, no caso convergente, cálculo usando transformações que levam a integrais de tipo Gamma.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, consideramos integral-infty^+infty|sin(x^alpha)|,dx. Como |sin(cdot)| oscila sem decair em amplitude e tem valor médio positivo, essa integral diverge para todo alpha>0.

Passo 3

Para estudar a convergência condicional, dividimos em duas partes: integral-infty^0sin(x^alpha),dx e integral0^inftysin(x^alpha),dx. Vamos focar em I=integral0^inftysin(x^alpha),dx. Fazemos a substituição t=x^alpha, logo dt=alpha x^alpha-1dx, ou seja
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$$dx=\frac{dt}{\alpha,t^{1-\tfrac1\alpha}},.
dx=dtalpha,t^1-tfrac1alpha,
I=\int_0{\infty}\sin(x{\alpha}),dx
=\frac1{\alpha}\int_0{\infty}t{\tfrac1\alpha-1}\sin t,dt
=\frac1{\alpha};\Gamma\Bigl(\tfrac1\alpha\Bigr);\sin\Bigl(\tfrac{\pi}{2,\alpha}\Bigr)
$$

Passo 4

A integral de Euler para sen é integral0^inftyt^mu-1sin t,dt=Gamma(mu)sin(tfracpimu2), que só converge se 0. Aqui mu=1/alpha, logo requeremos 0<1/alpha<1, isto é alpha>1. Para alpha<=1 a integral diverge.

Passo 5

Portanto a integral original converge (condicionalmente) somente se alpha>1, e jamais absolutamente. Quando alpha>1 temos
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integral0^inftysin(x^alpha),dx=1alpha,Gammal(tfrac1alphar)sinl(tfracpi2alphar)

Passo 6

Finalmente, dividindo em ( -infty,0) e (0,infty), nota-se que para alpha inteiro ímpar o integrando é função ímpar e a soma dá zero; para alpha inteiro par o integrando é par e
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integral-infty^inftysin(x^alpha),dx =2integral0^inftysin(x^alpha),dx =2alpha,Gammal(tfrac1alphar)sinl(tfracpi2alphar)

Resposta

A integral integral-infty^+inftysin(x^alpha),dx converge condicionalmente se e só se alpha>1 (para alpha<=1 diverge) e nunca é absolutamente convergente. Quando alpha>1 vale
integral0^inftysin(x^alpha),dx=1alpha,Gammal(1/alphar)sinl(pi/(2alpha)r)
e
– para alpha inteiro ímpar: integral-infty^inftysin(x^alpha),dx=0,
– para alpha inteiro par: integral-infty^inftysin(x^alpha),dx=2alphaGammal(1/alphar)sinl(pi/(2alpha)r).

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