Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
, com parâmetro
. O conteúdo envolvido é análise de convergência de integrais impróprias (condicional e absoluta) e, no caso convergente, cálculo usando transformações que levam a integrais de tipo Gamma.
Passo 2
Para verificar convergência absoluta, consideramos
. Como
oscila sem decair em amplitude e tem valor médio positivo, essa integral diverge para todo
.
Passo 3
Para estudar a convergência condicional, dividimos em duas partes:
e
. Vamos focar em
. Fazemos a substituição
, logo
, ou seja
block
block
$$dx=\frac{dt}{\alpha,t^{1-\tfrac1\alpha}},.
I=\int_0{\infty}\sin(x{\alpha}),dx
=\frac1{\alpha}\int_0{\infty}t{\tfrac1\alpha-1}\sin t,dt
=\frac1{\alpha};\Gamma\Bigl(\tfrac1\alpha\Bigr);\sin\Bigl(\tfrac{\pi}{2,\alpha}\Bigr)
=\frac1{\alpha}\int_0{\infty}t{\tfrac1\alpha-1}\sin t,dt
=\frac1{\alpha};\Gamma\Bigl(\tfrac1\alpha\Bigr);\sin\Bigl(\tfrac{\pi}{2,\alpha}\Bigr)
$$
Passo 4
A integral de Euler para sen é
, que só converge se
. Aqui
, logo requeremos
, isto é
. Para
a integral diverge.
Passo 5
Portanto a integral original converge (condicionalmente) somente se
, e jamais absolutamente. Quando
temos
block
block
Passo 6
Finalmente, dividindo em
e
, nota-se que para
inteiro ímpar o integrando é função ímpar e a soma dá zero; para
inteiro par o integrando é par e
block
block
Resposta
A integral
converge condicionalmente se e só se
(para
diverge) e nunca é absolutamente convergente. Quando
vale
e
– para
inteiro ímpar:
,
– para
inteiro par:
.