Decida se as integrais impróprias convergem ou divergem
integral2^+infty 2+cos (x)1+x^2 d x

Passo 1

Nesse exercício, temos a integral imprópria de limite infinito
integral2^infty 2+cos(x)1+x^2,dx
O tema é integrais impróprias e vamos usar o teste de comparação para decidir convergência.

Passo 2

Para x grande, sabemos que cos(x) fica entre -1 e 1, logo:
2+cos(x)in [1,3]
Portanto podemos montar a desigualdade
11+x^2 <= 2+cos(x)1+x^2 <= 31+x^2

Passo 3

Além disso, para x>=2 vale 1+x^2>= x^2, então
0 <= 2+cos(x)1+x^2 <= 3x^2
Sabemos que integral2^infty 3x^2,dx converge (é uma integral p-com p=2>1). Façamos o cálculo:
integral2^infty 3x^2,dx = limbtoinfty l[-3xr]2^b = 32

Passo 4

Pelo teste de comparação direta, como a integral de 3/x^2 converge, concluímos que
integral2^infty 2+cos(x)1+x^2,dx
também converge (na verdade, de forma absoluta).

Resposta

A integral converge.

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