decida se a integral imprópria converge ou diverge. Explique seu raciocínio.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
converge ou diverge. Aqui vamos usar conteúdo de integrais impróprias do tipo infinito — em particular, o teste da comparação, comparando com uma integral-padrão
.
Passo 2
Observamos que o único problema é o limite superior infinito: a função
é contínua e positiva em , logo a impropriedade vem só de
.
é contínua e positiva em
Passo 3
Para grandes
,
Isso sugere comparar
com
cuja integral de
a
sabemos que converge (pois
).
Passo 4
Recordando a integral-padrão, temos
logo ela converge.
Passo 5
Aplicamos o teste de comparação limite: consideremos
Como esse limite é finito e estritamente positivo,
e
têm o mesmo comportamento de convergência.
Passo 6
Como
converge e o limite de
é um número em
, concluímos que
também converge.
Resposta
A integral converge.