decida se a integral imprópria converge ou diverge. Explique seu raciocínio.
integral1^infty x^2x^4+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
integral1^infty x^2x^4+1,dx
converge ou diverge. Aqui vamos usar conteúdo de integrais impróprias do tipo infinito — em particular, o teste da comparação, comparando com uma integral-padrão integral1^infty1x^p,dx.

Passo 2

Observamos que o único problema é o limite superior infinito: a função
f(x)=x^2x^4+1
é contínua e positiva em [1,infty), logo a impropriedade vem só de infty.

Passo 3

Para grandes x,
x^2x^4+1simx^2x^4=1x^2
Isso sugere comparar f(x) com
g(x)=1x^2,
cuja integral de 1 a infty sabemos que converge (pois p=2>1).

Passo 4

Recordando a integral-padrão, temos
integral1^infty1x^2,dx =limbtoinftyl[-tfrac1xr]1^b =limbtoinftyl(-tfrac1b+tfrac11r) =1,
logo ela converge.

Passo 5

Aplicamos o teste de comparação limite: consideremos
limxtoinftyf(x)g(x) =limxtoinftyx^2x^4+11x^2 =limxtoinftyx^4x^4+1 =1
Como esse limite é finito e estritamente positivo, f e g têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 6

Como integral1^inftyg(x),dx converge e o limite de f/g é um número em (0,infty), concluímos que
integral1^inftyx^2x^4+1,dx
também converge.

Resposta

A integral converge.

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