decida se a integral imprópria converge ou diverge. Explique seu raciocínio.
integral5^8 6raizt-5 d t

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
integral5^8 6raizt-5,dt
converge ou diverge. O conteúdo aqui é avaliação de integrais impróprias com singularidade no limite de integração, e vamos precisar identificar o tipo de singularidade e calcular a primitiva da função integranda.

Passo 2

Observamos que em t=5 o denominador raizt-5 fica zero, tornando a função 6raizt-5 não limitada quando tto5^+. Logo a integral é imprópria no limite inferior. Para decidir convergência, podemos calcular o valor
limato5^+integrala^86raizt-5,dt
e verificar se esse limite é finito.

Passo 3

Vamos encontrar uma primitiva de 6raizt-5. Note que
6raizt-5 = 6,(t-5)^-tfrac12
Uma primitiva de (t-5)^-tfrac12 é 2,(t-5)^tfrac12. Portanto, uma primitiva de 6raizt-5 é
6 times 2,(t-5)^tfrac12 = 12,(t-5)^tfrac12

Passo 4

Agora avaliamos o integral impróprio através do limite:
limato5^+integrala^86raizt-5,dt = limato5^+l[,12,(t-5)^tfrac12r]t=a^t=8 = limato5^+l(12raiz8-5 - 12raiza-5r)
Como raiz8-5=raiz3 e limato5^+raiza-5=0, o valor do integral é
12raiz3-0 = 12raiz3,
que é finito.

Resposta

A integral converge e vale 12raiz3.

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