Decida se o integral imprório existe.
integral0^infty 11+x^3 / 2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o integral impróprio
integral0^infty 11 + x^3/2 ,dx
existe (isto é, converge). Trata-se de um integral impróprio em dois pontos críticos: em x=0 e em xtoinfty. Vamos usar o teste de comparação de integrais impróprias e o fato de que, para p>1,
integral1^infty 1x^p,dx
converge.

Passo 2

Analisando o trecho de x=0 a x=1: a função
f(x)=11+x^3/2
é contínua em [0,1] (já que o denominador nunca se anula). Logo
integral0^111+x^3/2,dx
é finito.

Passo 3

Agora o trecho de x=1 até xtoinfty. Para x>=1 temos
0<11+x^3/2<= 1x^3/2
Como sabemos que
integral1^inftyx^-3/2,dx
converge (é o caso p=3/2>1), pelo teste de comparação também
integral1^infty11+x^3/2,dx
converge.

Passo 4

Unindo os dois trechos, o integral impróprio
integral0^infty11+x^3/2,dx
é soma de duas integrais convergentes, portanto converge.

Resposta

O integral impróprio existe (converge).

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