O limite lim N infty integrala^N f, se este existe, denota-se por integrala^infty f ou (integrala^infty f(x) d x), e chama-se integral impróprio.
(star) Explique porque o integral integral0^infty 11+x^2 d x existe. Sugestão: Separe o integral até 1 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral imprópria
integral0^infty11+x^2,dx
existe. O conteúdo aqui é o estudo de convergência de integrais impróprias, e a sugestão é separar a integral em dois pedaços: de 0 a 1 e de 1 ao infinito.

Passo 2

Analisamos primeiro a parte de 0 a 1. A função
11+x^2
é contínua em todo o intervalo fechado [0,1], logo a integral
integral0^111+x^2,dx
é própria e finita. De fato, usando a antiderivada arctan(x), temos
integral0^111+x^2,dx = l[arctan(x)r]0^1 = arctan(1)-arctan(0)=pi4

Passo 3

Agora olhamos para a parte de 1 até infty. Definimos
integral1^infty11+x^2,dx = limbtoinftyintegral1^b11+x^2,dx
Usando de novo a antiderivada arctan(x),
integral1^b11+x^2,dx = l[arctan(x)r]1^b = arctan(b)-arctan(1)
Quando btoinfty, arctan(b)totfracpi2, então
limbtoinftyl(arctan(b)-arctan(1)r) = pi2-pi4 = pi4
Isso mostra que a parte impropria de 1 ao infinito também converge.

Passo 4

Como as duas partes são finitas, a soma delas é finita. Logo
integral0^infty11+x^2,dx = integral0^111+x^2,dx + integral1^infty11+x^2,dx = pi4 + pi4 = pi2

Resposta

A integral imprópria existe e vale
integral0^infty11+x^2,dx = pi2

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