O limite
, se este existe, denota-se por
ou
, e chama-se integral impróprio.
Explique porque o integral
existe. Sugestão: Separe o integral até 1 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral imprópria
existe. O conteúdo aqui é o estudo de convergência de integrais impróprias, e a sugestão é separar a integral em dois pedaços: de
a
e de
ao infinito.
Passo 2
Analisamos primeiro a parte de
a
. A função
é contínua em todo o intervalo fechado
, logo a integral
é própria e finita. De fato, usando a antiderivada
, temos
Passo 3
Agora olhamos para a parte de
até
. Definimos
Usando de novo a antiderivada
,
Quando
,
, então
Isso mostra que a parte impropria de
ao infinito também converge.
Passo 4
Como as duas partes são finitas, a soma delas é finita. Logo
Resposta
A integral imprópria existe e vale