Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico das funções
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função
O conteúdo envolve funções definidas por radicais quadrados, em que precisamos garantir que o radicando seja não-negativo para existir a raiz real, e depois interpretar geometricamente a curva obtida.
Passo 2
Para achar o domínio, impomos
Isso equivale a
Logo, o domínio é
Passo 3
A saída de uma raiz quadrada é sempre não-negativa, e o menor valor ocorre quando o radicando fica mínimo no domínio. Em
temos
e, à medida que
,
.
Portanto, a imagem (conjunto de valores de ) é
Portanto, a imagem (conjunto de valores de
Passo 4
Para entender o gráfico, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Isto é a equação de uma hipérbole centrada na origem, cujas assíntotas são
Como temos ainda
e apenas
, ficamos só com os dois ramos superiores da hipérbole: um para
, outro para
. Cada ramo toca o eixo
em
ou
com tangente vertical ali, e para grandes
aproxima-se da reta
(ramo direito) ou
(ramo esquerdo).
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: dois ramos superiores da hipérbole , um para
e outro para
, ambos com
.
Imagem:
Gráfico: dois ramos superiores da hipérbole