Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico das funções
y=raizx^2-9

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função
y = raizx^2-9
O conteúdo envolve funções definidas por radicais quadrados, em que precisamos garantir que o radicando seja não-negativo para existir a raiz real, e depois interpretar geometricamente a curva obtida.

Passo 2

Para achar o domínio, impomos
x^2-9 >= 0
Isso equivale a
x^2 >= 9 Longrightarrow |x|>=3Longrightarrow x<= -3 ou x>=3
Logo, o domínio é
( -infty, -3 ] cup [ 3, +infty )

Passo 3

A saída de uma raiz quadrada é sempre não-negativa, e o menor valor ocorre quando o radicando fica mínimo no domínio. Em x=pm3 temos
raiz3^2-9 = 0,
e, à medida que |x|toinfty, raizx^2-9toinfty.
Portanto, a imagem (conjunto de valores de y) é
[0,infty)

Passo 4

Para entender o gráfico, elevamos ambos os lados ao quadrado:
y^2 = x^2-9Longrightarrow x^2-y^2=9
Isto é a equação de uma hipérbole centrada na origem, cujas assíntotas são
y = pm x
Como temos ainda y>=0 e apenas |x|>=3, ficamos só com os dois ramos superiores da hipérbole: um para x>=3, outro para x<=-3. Cada ramo toca o eixo x em (3,0) ou (-3,0) com tangente vertical ali, e para grandes |x| aproxima-se da reta y=x (ramo direito) ou y=-x (ramo esquerdo).

Resposta

Domínio: (-infty,-3]cup[3,infty)
Imagem: [0,infty)
Gráfico: dois ramos superiores da hipérbole x^2-y^2=9, um para x<=-3 e outro para x>=3, ambos com y>=0.

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