Decida se o integral imprório existe.
.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o integral impróprio
existe (isto é, converge). O conteúdo aqui é integral impróprio de segunda espécie (limite no infinito) e primeira espécie (possível descontinuidade em
). Vamos precisar simplificar o integrando, verificar continuidade em
e calcular a primitiva para avaliar o limite quando o intervalo vai até o infinito.
Passo 2
Simplificamos o integrando observando que, para
,
Logo o integral vira
Passo 3
Verificamos a integrabilidade em
. Como
o integrando é contínuo em
e não gera divergência na área de
a algum ponto qualquer. O único possível problema está no limite superior
.
Passo 4
Encontramos a primitiva de
. Sabemos que
Passo 5
Escrevemos o integral impróprio como limite e usamos a primitiva:
À medida que
,
, então
Isso mostra que a integral diverge.
Resposta
O integral impróprio não existe (diverge para
).