Decida se o integral imprório existe.
integral0^infty xx raiz1+x d x.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o integral impróprio
integral0^infty xxraiz1+x,dx
existe (isto é, converge). O conteúdo aqui é integral impróprio de segunda espécie (limite no infinito) e primeira espécie (possível descontinuidade em 0). Vamos precisar simplificar o integrando, verificar continuidade em 0 e calcular a primitiva para avaliar o limite quando o intervalo vai até o infinito.

Passo 2

Simplificamos o integrando observando que, para x>0,
xxraiz1+x = 1raiz1+x
Logo o integral vira
integral0^infty 1raiz1+x,dx

Passo 3

Verificamos a integrabilidade em x=0. Como
limxto0^+ 1raiz1+x = 1,
o integrando é contínuo em 0 e não gera divergência na área de 0 a algum ponto qualquer. O único possível problema está no limite superior xtoinfty.

Passo 4

Encontramos a primitiva de 1raiz1+x. Sabemos que
integral 1raiz1+x,dx = 2raiz1+x + C

Passo 5

Escrevemos o integral impróprio como limite e usamos a primitiva:
integral0^infty 1raiz1+x,dx = limbtoinfty integral0^b 1raiz1+x,dx = limbtoinfty l[2raiz1+xr]0^b = limbtoinfty l(2raiz1+b - 2cdot1r)
À medida que btoinfty, raiz1+btoinfty, então
2raiz1+b - 2 to infty
Isso mostra que a integral diverge.

Resposta

O integral impróprio não existe (diverge para +infty).

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