O integral imprório integral-infty^a f define-se de maneira óbvia, como lim N -infty integralN^a f. Mas um outro integral define-se de uma forma não óbvia:
integral-infty^infty f = integral0^infty f+integral-infty^0 f
dado que esses integrais imprórios ambos existem.
a) ( star ) Explique porque integral-infty^infty 11+x^2 d x existe.
b) (star) Explique porque integral-infty^infty x d x não existe. (Mas note que lim N infty integral-N^N x d x existe.)
c) (star) Mostre que se integral-infty^infty f existe, então lim N infty integral-N^N f existe e é igual a integral-infty^infty f. Mostre também que lim N infty integral-N^N+1 f e lim N infty integral-N^2^N f ambos existem e iguais a integral-infty^infty f.

Passo 1

O enunciado trata de integrais impróprias no intervalo (-infty,infty). Para resolver precisamos usar que
  1. integral-infty^inftyf=integral0^inftyf+integral-infty^0f, desde que cada uma das duas integrais converja.
  2. Conhecer o cálculo de integral11+x^2dx e o teste de divergência para polinômios como x.

Passo 2

Queremos mostrar que
integral-infty^infty11+x^2,dx
existe. Para isso, calculamos separadamente as duas integrais impróprias. Primeiro, de 0 a +infty:
integral0^infty11+x^2,dx =limRtoinftyl[arctan(x)r]0^R =limRtoinftyl(arctan(R)-arctan(0)r) =pi2
Em seguida, de -infty a 0:
integral-infty^011+x^2,dx =limLto-inftyl[arctan(x)r]L^0 =arctan(0)-limLto-inftyarctan(L) =0-(-tfracpi2) =pi2
Como ambas convergem e somam tfracpi2+tfracpi2=pi, concluímos que
integral-infty^infty11+x^2,dx=pi
existe.

Passo 3

Agora veja integral-infty^inftyx,dx. Novamente separaríamos em
integral0^inftyx,dx e integral-infty^0x,dx. Mas
integral0^inftyx,dx =limRtoinftyx^22|0^R =limRtoinftyR^22 =+infty,
logo diverge. Do mesmo modo
integral-infty^0x,dx =limLto-inftyx^22|L^0 =-limLto-inftyL^22 =-infty,
também diverge. Portanto integral-infty^inftyx,dx não existe, mesmo que a “forma simétrica” limNtoinftyintegral-N^Nx,dx=0 (valor principal) até exista, ela não conta como convergência imprópria segundo a definição.

Passo 4

Suponha que integral-infty^inftyf exista, isto é,
integral0^inftyf=A<infty, integral-infty^0f=B<infty
(a) Então
integral-N^Nf =integral-N^0f+integral0^Nf
e, fazendo Ntoinfty, cada parcela tende a B e A. Logo
limNtoinftyintegral-N^Nf =A+B =integral-infty^inftyf
(b) Para integral-N^N+1f escrevemos
integral-N^N+1f =integral-N^0f+integral0^Nf+integralN^N+1f
Os dois primeiros termos tendem a B e A, e o terceiro tende a zero porque, pela convergência de integral0^inftyf, qualquer “pedaço” integralN^N+1f vai a zero quando Ntoinfty. Logo também dá A+B.
(c) Para integral-N^2^Nf basta notar que
integral-N^2^Nf =integral-N^2^0f+integral0^Nf
e, quando Ntoinfty, a primeira parcela tende a B (pois -N^2to-infty) e a segunda a A. Assim o limite é A+B também.

Resposta

a) Existe e vale pi.
b) Não existe (cada integral de 0 a infty e de -infty a 0 diverge).
c) Se integral-infty^inftyf converge, então todos os limites
limNtoinftyintegral-N^Nf,
limNtoinftyintegral-N^N+1f e
limNtoinftyintegral-N^2^Nf
existem e coincidem com integral-infty^inftyf.

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