O integral imprório define-se de maneira óbvia, como . Mas um outro integral define-se de uma forma não óbvia:
dado que esses integrais imprórios ambos existem.
a) ( ) Explique porque existe.
b) Explique porque não existe. (Mas note que existe.)
c) Mostre que se existe, então existe e é igual a . Mostre também que e ambos existem e iguais a .
Passo 1
O enunciado trata de integrais impróprias no intervalo . Para resolver precisamos usar que
, desde que cada uma das duas integrais converja.
Conhecer o cálculo de e o teste de divergência para polinômios como .
Passo 2
Queremos mostrar que
existe. Para isso, calculamos separadamente as duas integrais impróprias. Primeiro, de a :
também diverge. Portanto integral-infty^inftyx,dx não existe, mesmo que a “forma simétrica” limNtoinftyintegral-N^Nx,dx=0 (valor principal) até exista, ela não conta como convergência imprópria segundo a definição.
Os dois primeiros termos tendem a B e A, e o terceiro tende a zero porque, pela convergência de integral0^inftyf, qualquer “pedaço” integralN^N+1f vai a zero quando Ntoinfty. Logo também dá A+B.
(c) Para integral-N^2^Nf basta notar que
integral-N^2^Nf =integral-N^2^0f+integral0^Nf
e, quando Ntoinfty, a primeira parcela tende a B (pois -N^2to-infty) e a segunda a A. Assim o limite é A+B também.
Resposta
a) Existe e vale pi.
b) Não existe (cada integral de 0 a infty e de -infty a 0 diverge).
c) Se integral-infty^inftyf converge, então todos os limites limNtoinftyintegral-N^Nf, limNtoinftyintegral-N^N+1f e limNtoinftyintegral-N^2^Nf
existem e coincidem com integral-infty^inftyf.