Decida quais dos itens são verdadeiros e quais são falsos apresentando as justificativas necessárias:
( ) Todo operador linear admite autovalores.
( ) O vetor nulo pode ser um autovetor de um operador linear.
( ) Se
é um autovalor de um operador linear
, então
.
( ) Os autovalores de um operador linear
correspondem às raízes do polinômio característico da matriz do operador
com relação à alguma base
do espaço vetorial
.
( ) Todo operador linear é diagonalizável.
( ) Sejam
e
autovalores distintos de um operador linear
. Se a multiplicidade algébrica de
é igual a multiplicidade geométrica de
, então
é um operador diagonalizável.
( ) Todo operador linear admite autovalores.
( ) O vetor nulo pode ser um autovetor de um operador linear.
( ) Se
( ) Os autovalores de um operador linear
( ) Todo operador linear é diagonalizável.
( ) Sejam
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os seis itens que devemos classificar como verdadeiros ou falsos. Cada item é uma afirmação sobre operadores lineares; preciso decidir Verdadeiro (V) ou Falso (F) e justificar.
Os itens são:
- (1) Todo operador linear admite autovalores.
- (2) O vetor nulo pode ser um autovetor de um operador linear.
- (3) Se
é um autovalor de um operador linear , então . - (4) Os autovalores de um operador linear
correspondem às raízes do polinômio característico da matriz do operador com relação à alguma base do espaço vetorial . - (5) Todo operador linear é diagonalizável.
- (6) Sejam
e autovalores distintos de um operador linear . Se a multiplicidade algébrica de é igual à multiplicidade geométrica de , então é um operador diagonalizável.
Agora vou, passo a passo, dar as definições necessárias e analisar cada item com exemplos e justificativas.
Passo 2
Primeiro, definições básicas (muito importantes para a prova). Vou explicar devagar e com exemplos.
- Definição de autovalor e autovetor: dizer que
é autovalor de significa que existe um vetor não-nulo tal que
Esse vetor
é chamado autovetor correspondente a
. Repare que a exigência “vetor não-nulo” é parte da definição padrão de autovetor.
- Como encontrar autovalores na prática: ao representar
numa base por uma matriz , os autovalores são exatamente os escalares que fazem
A expressão
é o polinômio característico de
.
-
Multiplicidade algébrica e geométrica:
- A multiplicidade algébrica de um autovalor
é a multiplicidade de como raiz do polinômio característico. - A multiplicidade geométrica de
é a dimensão do espaço nulo de , isto é, — o número de autovetores linearmente independentes associados a .
- A multiplicidade algébrica de um autovalor
-
Critério de diagonalizabilidade (intuitivo): um operador
em um espaço vetorial de dimensão finita é diagonalizável se existe uma base formada por autovetores de . Uma consequência útil: -
é diagonalizável se, para todo autovalor , a multiplicidade geométrica de é igual à multiplicidade algébrica de e a soma das multiplicidades algébricas (que é ) corresponde à soma das dimensões dos subespaços próprios.
-
Com essas definições, passo a analisar item a item.
Passo 3
Item (1): “Todo operador linear admite autovalores.”
Explicação e contraexemplo:
- Se o corpo sobre o qual o espaço vetorial é definido for
e o espaço for de dimensão finita, o polinômio característico tem grau e, pelo Teorema Fundamental da Álgebra, tem pelo menos uma raiz complexa; portanto sobre todo operador linear em espaço de dimensão finita tem pelo menos um autovalor. - Contudo, o enunciado não especifica o corpo; em muitos exercícios clássicos o espaço é sobre
. Em existem operadores sem autovalores reais. Exemplo simples (peguei esse exemplo porque é clássico e fácil de verificar):
que representa uma rotação de
em
. O polinômio característico é
cuja equação
não tem raízes reais. Logo,
não tem autovalores em
.
Conclusão: como o enunciado não garante que o espaço é sobre
, a afirmação “Todo operador linear admite autovalores” é falsa no contexto geral. Se o contexto fosse explicitamente "sobre
" e dimensão finita, seria verdadeira; mas não é o caso aqui.]
Passo 4
Item (2): “O vetor nulo pode ser um autovetor de um operador linear.”
Explicação:
- Pela definição de autovetor, um autovetor é um vetor não-nulo
tal que . A exigência é essencial porque, para qualquer , é sempre verdade e não queremos que esse fato trivial conte como autovetor — caso contrário tudo seria autovetor. - Portanto o vetor nulo não é considerado autovetor.
Conclusão: o item (2) é falso.
Passo 5
Item (3): “Se
é um autovalor de um operador linear
, então
.”
Explicação e contraexemplo:
- Zero pode perfeitamente ser autovalor. Por definição,
é autovalor se existe tal que , ou seja, se contém um vetor não-nulo; em outras palavras, é autovalor exatamente quando não é injetor (quando não é inversível). - Exemplos simples: a matriz nula
tem autovalor
. Outro exemplo: a matriz nilpotente
tem polinômio característico
e autovalor
(com multiplicidade algébrica
).
Também há relação útil:
é autovalor de
se e somente se
não é invertível.
Conclusão: o item (3) é falso.]
Passo 6
Item (4): “Os autovalores de um operador linear
correspondem às raízes do polinômio característico da matriz do operador
com relação à alguma base
do espaço vetorial
.”
Explicação detalhada:
- Seja
a matriz de em alguma base . Então é autovalor de se existe com . Na matriz, isso equivale a existir tal que
ou seja,
- Há solução não-trivial para
exatamente quando . Logo os autovalores são raízes do polinômio característico . - Uma questão que costuma confundir: a matriz
depende da base escolhida, mas se escolhermos outra base a matriz fica semelhante a , digamos . Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico, portanto as raízes (os autovalores, com multiplicidades) são invariantes por mudança de base.
Conclusão: o item (4) é verdadeiro.
Passo 7
Item (5): “Todo operador linear é diagonalizável.”
Explicação e contraexemplo:
- Diagonalizável significa que existe uma base de autovetores, ou equivalentemente que a matriz de
é semelhante a uma matriz diagonal. - Nem todo operador é diagonalizável. Um critério necessário e suficiente prático é que, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica coincida com a multiplicidade algébrica e a soma das multiplicidades geométricas seja igual à dimensão do espaço.
- Contraexemplo clássico (fácil de verificar): a matriz de Jordan
O polinômio característico é
(então a multiplicidade algébrica de
é
), mas o espaço próprio
tem dimensão
(portanto multiplicidade geométrica
), logo não há duas direções independentes de autovetores e
não é diagonalizável.
Conclusão: o item (5) é falso.]
Passo 8
Item (6): “Sejam
e
autovalores distintos de
. Se a multiplicidade algébrica de
é igual à multiplicidade geométrica de
, então
é um operador diagonalizável.”
Explicação e contraexemplo e detalhe do porquê precisa ser para todos os autovalores:
- A igualdade entre multiplicidade algébrica e geométrica para um autovalor
garante que, para , há “autovetores suficientes” correspondentes a essa raiz. Entretanto, para que seja diagonalizável é necessário que isso aconteça para todos os autovalores — não basta para apenas um deles. - Construa um contraexemplo concreto (uso um exemplo pequeno para ficar claro):
Considere a matrizem O polinômio característico é . Assim os autovalores são (multiplicidade algébrica ) e (multiplicidade algébrica ).- Para
a multiplicidade geométrica é (há um autovetor não-nulo associado), então para a multiplicidade algébrica coincide com a geométrica. - Para
a multiplicidade geométrica é (o núcleo de tem dimensão ), mas a multiplicidade algébrica de é . Portanto para a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica. - Logo
não é diagonalizável (pois não se consegue encontrar 3 autovetores independentes).
- Para
- Assim, só saber que a igualdade vale para
não basta; é necessário que a igualdade valha para todos os autovalores para garantir diagonalizabilidade.
Conclusão: o item (6) é falso.]
Passo 9
Recapitulando os resultados com pequenas justificativas-resumo (para decorar e usar na prova):
- (1) Falso — existe operador sobre
sem autovalores reais (p.ex. rotação em ). - (2) Falso — definição exige autovetor não-nulo.
- (3) Falso —
pode ser autovalor (ocorre quando não é invertível). - (4) Verdadeiro — autovalores são raízes do polinômio característico
e raízes são invariantes por mudança de base. - (5) Falso — nem todo operador é diagonalizável (p.ex. blocos de Jordan não-diagonalizáveis).
- (6) Falso — é preciso igualdade entre multiplicidade geométrica e algébrica para todos os autovalores, não apenas para um.
Agora, deixo as respostas finais no formato pedido.
Resposta
(1) Falso
(2) Falso
(3) Falso
(4) Verdadeiro
(5) Falso
(6) Falso
(2) Falso
(3) Falso
(4) Verdadeiro
(5) Falso
(6) Falso