Determinar os autovalores (valores próprios) de A e, para cada autovalor, um conjunto de autovetores (espaço próprio).
Dizer se o operador linear T_A (cuja matriz é A) é diagonalizável.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A matriz A é de ordem 4.
Não há imagens a considerar.
Todas as entradas da matriz estão explícitas e são números inteiros.
Passo 2
Observação útil sobre a estrutura de A\) (isto facilita muito os cálculos): a ação de \(A\) em um vetor \(x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T\) separa-se em dois blocos que não misturam as coordenadas \((x_1,x_3)\) com \((x_2,x_4)\). Escrevendo as componentes de \(Ax\) temos
\[\begin{cases} (Ax)_1 = 2x_1 + x_3,\\[4pt] (Ax)_2 = 2x_2 + x_4,\\[4pt] (Ax)_3 = 12x_1 + 3x_3,\\[4pt] (Ax)_4 = -x_2. \end{cases}
Portanto os subespaços gerados por e_1,e_3\] e por \(e_2,e_4 são invariantes por A. Isso permite reduzir o problema a dois blocos 2\times2. Nos pareamentos (x_1,x_3) e (x_2,x_4) a matriz A equivale, respectivamente, aos blocos
Observação importante: o espaço próprio associado a \lambda=1 é o conjunto \{(0,t,0,-t)^T : t\in\mathbb{R}\}, que tem dimensão 1. Ou seja, a multiplicidade geométrica de \lambda=1 é 1, enquanto a multiplicidade algébrica é 2.]
Passo 9
Critério de diagonalizabilidade e conclusão: um operador linear em espaço de dimensão 4 é diagonalizável se e somente se existe uma base formada por autovetores, isto é, se a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores for 4. Aqui já temos as dimensões das variedades próprias:
\dim E_{6}=1 (um autovetor v_{6}),
\dim E_{-1}=1 (um autovetor v_{-1}),
\dim E_{1}=1 (apenas o autovetor v_{1}).
A soma das dimensões é 1+1+1=3<4. Portanto não há um conjunto de 4 autovetores linearmente independentes; logo A (ou T_A) não é diagonalizável.
Passo 10
(Complemento prático: cadeia de Jordan para \lambda=1). Para entender como se comporta o bloco de \lambda=1, pode-se procurar um vetor generalizado w tal que (A-I)w=v_{1}. Resolvendo essa equação encontra-se, por exemplo, w=(0,0,0,1)^T, pois
Isto mostra explicitamente que sobre o subespaço associado a \lambda=1 existe um bloco de Jordan de tamanho 2, o que reafirma que A não é diagonalizável.]