Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma função. Decida em quais casos T é um operador linear e, se possível, determine seus autovalores e autovetores:
T(x, y)=(x+3,2 y).

Passo 1

O enunciado fornece a aplicação T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(x+3,\,2y).
As perguntas são:
  • Decidir se T é um operador linear (isto é, linearidade total).
  • Se for possível, determinar os autovalores e autovetores de T.

Passo 2

Vamos lembrar nitidamente o que significa ser um operador linear. Uma aplicação L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é linear se, para todo u,v\in\mathbb{R}^2 e todo escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
L(u+v)=L(u)+L(v)
L(cu)=c\,L(u).
Uma consequência imediata (muito útil para testes rápidos) é que um operador linear deve enviar o vetor zero para o vetor zero, isto é,
L(0,0)=(0,0).
Se uma aplicação não satisfaz essa condição, ela já não pode ser linear.

Passo 3

Vamos aplicar esse teste simples a T. Calculemos T(0,0):
T(0,0)=(0+3,\,2\cdot 0)=(3,0).
Como (3,0)\neq(0,0), concluímos imediatamente que T não satisfaz a condição necessária T(0)=0. Portanto
\text{\(T\) não é linear.}ãé
Comentário didático: o termo constante +3 na primeira coordenada é a causa da quebra da linearidade; mapas com uma tradução não nula são aplicações afins (lineares mais uma translação), não operadores lineares.

Passo 4

Como T não é linear, a teoria padrão de autovalores/autovetores (que é para operadores lineares) não se aplica diretamente a T. No entanto é didático separar a parte linear e a translação. Escrevemos
T(x,y)=S(x,y)+(3,0),
onde a parte linear S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é
S(x,y)=(x,\,2y).
A matriz que representa S na base canônica é
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora uma pequena aula sobre autovalores/autovetores (para operadores lineares): um autvalor \lambda\in\mathbb{R} e um autovetor v\in\mathbb{R}^2\setminus\{0\} satisfazem
S(v)=\lambda v.
Em termos de matriz isso é
A v=\lambda v\quad\Longleftrightarrow\quad (A-\lambda I)v=0.
Os valores \lambda possíveis são as raízes do polinômio característico
\det(A-\lambda I)=0.

Passo 6

Calculemos o polinômio característico de A:
\det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & 0\\[4pt] 0 & 2-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)(2-\lambda).
As raízes são
\lambda=1\qquad\text{e}\qquad \lambda=2.
Portanto o operador linear S tem dois autovalores distintos \lambda=1 e \lambda=2.]

Passo 7

Vamos achar os autovetores correspondentes a cada autovalor, resolvendo (A-\lambda I)v=0.
Para \lambda=1:
A-I=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}.
A equação (A-I)\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=0
0\cdot x+0\cdot y=0,\qquad 0\cdot x+1\cdot y=0,
isto é y=0 e x livre. Assim os autovetores associados a \lambda=1 são todos os vetores da forma
\begin{pmatrix}x\\[2pt]0\end{pmatrix}\quad\text{com }x\neq 0.
Exemplo: \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix} é um autovetor de \lambda=1.
Para \lambda=2:
A-2I=\begin{pmatrix}-1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
A equação (A-2I)\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=0
-1\cdot x+0\cdot y=0,\qquad 0\cdot x+0\cdot y=0,
isto é x=0 e y livre. Assim os autovetores associados a \lambda=2 são todos os vetores da forma
\begin{pmatrix}0\\[2pt]y\end{pmatrix}\quad\text{com }y\neq 0.
Exemplo: \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix} é um autovetor de \lambda=2.]

Passo 8

Resumo didático até aqui: T não é linear, logo falar em autovalores/autovetores de T no sentido padrão não faz sentido. Mas o operador linear que aparece removendo a translação, S(x,y)=(x,2y), tem autovalores \lambda=1 e \lambda=2 com respectivos autovetores descritos no passo anterior.
Ainda assim, por curiosidade algébrica podemos resolver a equação
T(v)=\lambda v
para v=(x,y) e ver se existem pares (\lambda,v) que a satisfaçam (atenção: isto não torna T linear; é só resolver uma equação vetorial). Escrevendo coordenadas:
x+3=\lambda x,\qquad 2y=\lambda y.
Da segunda equação obtemos
(2-\lambda)y=0.
Duas possibilidades:
  • Se y\neq 0, então necessariamente \lambda=2. Substituindo na primeira equação:
x+3=2x\quad\Longrightarrow\quad x=3.
Portanto, para \lambda=2 toda a família de vetores
\begin{pmatrix}3\\[2pt]y\end{pmatrix}\quad\text{(com qualquer }y\in\mathbb{R})
satisfaz T(v)=2v. Observe que isso inclui o vetor \begin{pmatrix}3\\[2pt]0\end{pmatrix}.
  • Se y=0, a segunda equação é satisfeita para qualquer \lambda. A primeira equação fica
x+3=\lambda x\quad\Longrightarrow\quad \lambda=1+\frac{3}{x},
desde que x\neq 0 (se x=0 a equação dá 3=0, impossível). Assim, para cada x\neq 0 o vetor \begin{pmatrix}x\\[2pt]0\end{pmatrix} satisfaz T(v)=\lambda v com \lambda=1+\dfrac{3}{x}. Note que esses \lambda variam com x; isto mostra mais uma vez que esse tipo de “autovalor” aqui depende do vetor escolhido porque T não é linear.]

Passo 9

Conclusão pedagógica: resumindo a situação de forma direta e limpa (útil para prova): T NÃO é um operador linear; a parte linear associada S(x,y)=(x,2y) tem autovalores e autovetores facilmente calculáveis. Se for preciso responder rapidamente na prova, diga: “não é linear” e, se pedirem a parte linear, apresente os autovalores/autovetores de S como aqui.

Resposta

T não é linear (é uma aplicação afim; T(0,0)=(3,0)\neq(0,0)).
O operador linear associado S(x,y)=(x,2y) (matriz \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&2\end{pmatrix}) tem autovalores \lambda=1 com autovetores \{(x,0):x\neq0\} e \lambda=2 com autovetores \{(0,y):y\neq0\}.
Resolvendo T(v)=\lambda v (fora do contexto de operador linear) obtém-se \lambda=2 com v=(3,y) ( y arbitrário), e para vetores da forma v=(x,0), x\neq0, tem-se \lambda=1+\dfrac{3}{x}.]

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