Seja
uma função. Decida em quais casos
é um operador linear e, se possível, determine seus autovalores e autovetores:
.
Passo 1
O enunciado fornece a aplicação
definida por
As perguntas são:
- Decidir se
é um operador linear (isto é, linearidade total). - Se for possível, determinar os autovalores e autovetores de
.
Passo 2
Vamos lembrar nitidamente o que significa ser um operador linear. Uma aplicação
é linear se, para todo
e todo escalar
, valem as duas propriedades:
Uma consequência imediata (muito útil para testes rápidos) é que um operador linear deve enviar o vetor zero para o vetor zero, isto é,
Se uma aplicação não satisfaz essa condição, ela já não pode ser linear.
Passo 3
Vamos aplicar esse teste simples a
. Calculemos
:
Como
, concluímos imediatamente que
não satisfaz a condição necessária
. Portanto
Comentário didático: o termo constante
na primeira coordenada é a causa da quebra da linearidade; mapas com uma tradução não nula são aplicações afins (lineares mais uma translação), não operadores lineares.
Passo 4
Como
não é linear, a teoria padrão de autovalores/autovetores (que é para operadores lineares) não se aplica diretamente a
. No entanto é didático separar a parte linear e a translação. Escrevemos
onde a parte linear
é
A matriz que representa
na base canônica é
Passo 5
Agora uma pequena aula sobre autovalores/autovetores (para operadores lineares): um autvalor
e um autovetor
satisfazem
Em termos de matriz isso é
Os valores
possíveis são as raízes do polinômio característico
Passo 6
Calculemos o polinômio característico de
:
As raízes são
Portanto o operador linear
tem dois autovalores distintos
e
.]
Passo 7
Vamos achar os autovetores correspondentes a cada autovalor, resolvendo
.
Para
:
A equação
dá
isto é
e
livre. Assim os autovetores associados a
são todos os vetores da forma
Exemplo:
é um autovetor de
.
Para
:
A equação
dá
isto é
e
livre. Assim os autovetores associados a
são todos os vetores da forma
Exemplo:
é um autovetor de
.]
Passo 8
Resumo didático até aqui:
não é linear, logo falar em autovalores/autovetores de
no sentido padrão não faz sentido. Mas o operador linear que aparece removendo a translação,
, tem autovalores
e
com respectivos autovetores descritos no passo anterior.
Ainda assim, por curiosidade algébrica podemos resolver a equação
para
e ver se existem pares
que a satisfaçam (atenção: isto não torna
linear; é só resolver uma equação vetorial). Escrevendo coordenadas:
Da segunda equação obtemos
Duas possibilidades:
- Se
, então necessariamente . Substituindo na primeira equação:
Portanto, para
toda a família de vetores
satisfaz
. Observe que isso inclui o vetor
.
- Se
, a segunda equação é satisfeita para qualquer . A primeira equação fica
desde que
(se
a equação dá
, impossível). Assim, para cada
o vetor
satisfaz
com
. Note que esses
variam com
; isto mostra mais uma vez que esse tipo de “autovalor” aqui depende do vetor escolhido porque
não é linear.]
Passo 9
Conclusão pedagógica: resumindo a situação de forma direta e limpa (útil para prova):
NÃO é um operador linear; a parte linear associada
tem autovalores e autovetores facilmente calculáveis. Se for preciso responder rapidamente na prova, diga: “não é linear” e, se pedirem a parte linear, apresente os autovalores/autovetores de
como aqui.
Resposta
O operador linear associado
(matriz
) tem autovalores
com autovetores
e
com autovetores
.
Resolvendo (fora do contexto de operador linear) obtém-se
com
(
arbitrário), e para vetores da forma
,
, tem-se
.]
Resolvendo