Decida se os limites abaixo existem, e no caso de existir, calcule o valor desse limite.
(a) (1,5 ponto)
(a) (1,5 ponto)
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o limite existe e, se existir, calcular seu valor. O limite é
Informações dadas:
- A função a estudar é
. - A variável
aproxima-se de (pela direita e pela esquerda, isto é, limite bilateral).
Passo 2
Primeiro simplificar a expressão do denominador:
Logo podemos reescrever o quociente como
Passo 3
Separe a fração em termos mais simples (isso ajuda a ver o comportamento quando
):
Agora simplifique cada parcela:
Portanto
Passo 4
Analise o comportamento quando
.
- A parcela
é constante, então tende para . - A parcela
: como e quando , o denominador tende a . Assim .
Como uma soma de um número finito com uma quantidade que diverge paradiverge para , temos
Além disso, a expressão depende apenas de
, então o comportamento é o mesmo aproximando por
ou por
; portanto o limite bilateral também diverge para
.
Passo 5
Interpretação final: o limite não existe como número real finito. Porém existe como limite impropriamente infinito, isto é, a função diverge para
quando
.