Decida se os limites abaixo existem, e no caso de existir, calcule o valor desse limite.
(a) (1,5 ponto) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+\frac{1}{3}}{x^{2}+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o limite existe e, se existir, calcular seu valor. O limite é
\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}+\dfrac{1}{3}}{x^{2}+x^{2}}.
Informações dadas:
  • A função a estudar é f(x)=\dfrac{x^{2}+\tfrac{1}{3}}{x^{2}+x^{2}}.
  • A variável x aproxima-se de 0 (pela direita e pela esquerda, isto é, limite bilateral).

Passo 2

Primeiro simplificar a expressão do denominador:
x^{2}+x^{2}=2x^{2}.
Logo podemos reescrever o quociente como
\frac{x^{2}+\dfrac{1}{3}}{2x^{2}}.

Passo 3

Separe a fração em termos mais simples (isso ajuda a ver o comportamento quando x\to 0):
\frac{x^{2}+\dfrac{1}{3}}{2x^{2}}=\frac{x^{2}}{2x^{2}}+\frac{\dfrac{1}{3}}{2x^{2}}.
Agora simplifique cada parcela:
\frac{x^{2}}{2x^{2}}=\frac{1}{2}, \qquad \frac{\tfrac{1}{3}}{2x^{2}}=\frac{1}{6x^{2}}.
Portanto
\frac{x^{2}+\dfrac{1}{3}}{2x^{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6x^{2}}.

Passo 4

Analise o comportamento quando x\to 0.
  • A parcela \dfrac{1}{2} é constante, então tende para \dfrac{1}{2}.
  • A parcela \dfrac{1}{6x^{2}}: como x^{2}\ge 0 e x^{2}\to 0 quando x\to 0, o denominador 6x^{2} tende a 0^{+}. Assim \dfrac{1}{6x^{2}}\to +\infty.
    Como uma soma de um número finito com uma quantidade que diverge para +\infty diverge para +\infty, temos
\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6x^{2}}\right)=+\infty.
Além disso, a expressão depende apenas de x^{2}, então o comportamento é o mesmo aproximando por x>0 ou por x<0; portanto o limite bilateral também diverge para +\infty.

Passo 5

Interpretação final: o limite não existe como número real finito. Porém existe como limite impropriamente infinito, isto é, a função diverge para +\infty quando x\to 0.

Resposta

+\infty

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