Teste da segunda diferencial: Um ponto crítico "
" de
é ponto de,
(i)mínimo relativo, se
e
(ou
).
(ii)máximo relativo, se
e
(ou
).
(i)mínimo relativo, se
(ii)máximo relativo, se
Passo 1
O enunciado dá um ponto crítico chamado
de uma função
com
e afirma duas condições para classificar
como mínimo relativo ou máximo relativo usando as segundas derivadas avaliadas em
. As informações relevantes que temos são:
-
é um ponto crítico, ou seja (isto é, as derivadas parciais primeiras valem zero em ). - As segundas derivadas no ponto
são . - O enunciado usa o determinante associado às segundas derivadas
As perguntas implícitas são: por que essas condições (i)
e
implicam mínimo relativo e (ii)
e
implicam máximo relativo? (Também é útil saber o que acontece quando
ou
.)
Passo 2
Começamos com a ideia chave: em um ponto crítico a comparação entre
e
para pontos próximos a
é dominada pelos termos quadráticos da expansão de Taylor de
em torno de
. Escrevendo
com
, a expansão de Taylor até segunda ordem é
onde
é a matriz Hessiana em
com entradas
. Como
é ponto crítico,
, então o termo linear some e obtemos, para
pequeno,
Portanto a natureza de
(mínimo, máximo, sela) é determinada pelo sinal do termo quadrático principal
Se
para todo
(definida positiva), então
para
pequeno e
é mínimo local. Se
para todo
(definida negativa), então
é máximo local. Se
assume sinais opostos (indefinida) então
é ponto de sela.
Passo 3
Para entender
explicitamente, escrevemos
na forma
onde
. Então
O fator
não altera o sinal, então, para estudar sinal, podemos olhar para
Passo 4
Uma maneira direta de analisar
é completar quadrados (supondo
momentaneamente). Temos
Explicando cada termo: o primeiro termo é um quadrado multiplicado por
; o segundo termo é o que sobra após a “eliminação” do produto cruzado. Então:
- Se
e então ambos termos são não negativos e a soma só é zero quando , logo para todo (positiva definida). - Se
e então para todo (negativa definida).
Note que
Portanto as condições acima podem ser reescritas em termos de
.
Passo 5
Usando a relação do passo anterior chegamos às condições em termos de
e
:
- Se
e então e assim é positiva definida. Isso implica para e, por consequência, para pequeno: é mínimo relativo. - Se
e então e é negativa definida. Isso implica para e é máximo relativo.
Essas são exatamente as condições (i) e (ii) do enunciado, lembrando que pode-se também checarem lugar de (ou seja, ) porque se então e têm o mesmo sinal; basta um deles para decidir se é positivo ou negativo.
Passo 6
Agora, o que ocorre quando
?
- Se
, então . Nesse caso é indefinida: existem vetores com e outros com . Assim é ponto de sela (não é nem mínimo nem máximo). - Se
, o teste é inconclusivo: a forma quadrática é semidefinida (pode ser zero numa direção não nula), e termos de ordem superior na expansão de Taylor podem decidir o caso. Ou seja, quando é necessário investigar termos de ordem mais alta ou analisar em direções específicas para classificar .
Passo 7
Mostro exemplos rápidos — isso ajuda a fixar como aplicar o teste numa prova:
Exemplo (mínimo):
Considere . Então
Considere
Logo
e
. Pelo teste, a origem é mínimo local.
Exemplo (máximo):
Considere . Aqui
Considere
então
e
. Pelo teste, a origem é máximo local.
Exemplo (sela):
Considere . Aqui
Considere
logo
. Pelo teste, a origem é ponto de sela.
Exemplo (inconclusivo):
Considere . No ponto
todas as segundas derivadas são zero:
, então
. O teste da segunda diferencial falha aqui e é preciso olhar termos de ordem maior para concluir que
é mínimo (porque
), mas isso sai do teste de segunda ordem.
Considere
Passo 8
Receita prática que você pode usar na prova (passo a passo rápido):
- Calcule
e encontre pontos críticos resolvendo . - Em cada ponto crítico
, calcule . - Calcule
. - Interprete:
- Se
e então mínimo relativo. - Se
e então máximo relativo. - Se
então ponto de sela. - Se
então o teste é inconclusivo — examine termos de ordem maior ou considere em direções específicas.
- Se
- Se for pedir justificativa, explique via expansão de Taylor e positividade/negatividade da forma quadrática (como fiz acima).
Passo 9
Resumo final (para decorar e aplicar rápido): o determinante
mede se a forma quadrática é definida (quando
) ou indefinida (quando
). O sinal de
(ou de
) indica se a forma definida é positiva (mínimo) ou negativa (máximo). Quando
o teste não decide.
Resposta
(i) mínimo relativo se
e
(ou
).
(ii) máximo relativo se e
(ou
).
(ii) máximo relativo se