Teste da segunda diferencial: Um ponto crítico " a " de f=f(x), x=\left(x_{1}, x_{2}\right) é ponto de,
(i)mínimo relativo, se f_{x_{1} x_{1}}(a) f_{x_{2} x_{2}}(a)-\left[f_{x_{1} x_{2}}(a)\right]^{2}>0 e f_{x_{1} x_{1}}(a)>0 (ou f_{x_{2} x_{2}}(a)>0 ).
(ii)máximo relativo, se f_{x_{1} x_{1}}(a) f_{x_{2} x_{2}}(a)-\left[f_{x_{1} x_{2}}(a)\right]^{2}>0 e f_{x_{1} x_{1}}(a)<0 (ou f_{x_{2} x_{2}}(a)<0 ).

Passo 1

O enunciado dá um ponto crítico chamado a de uma função f=f(x) com x=(x_{1},x_{2}) e afirma duas condições para classificar a como mínimo relativo ou máximo relativo usando as segundas derivadas avaliadas em a. As informações relevantes que temos são:
  • a é um ponto crítico, ou seja \nabla f(a)=0 (isto é, as derivadas parciais primeiras valem zero em a).
  • As segundas derivadas no ponto a são f_{x_{1}x_{1}}(a),\,f_{x_{1}x_{2}}(a),\,f_{x_{2}x_{2}}(a).
  • O enunciado usa o determinante associado às segundas derivadas D := f_{x_{1}x_{1}}(a)\,f_{x_{2}x_{2}}(a)-\bigl[f_{x_{1}x_{2}}(a)\bigr]^2.
As perguntas implícitas são: por que essas condições (i) D>0 e f_{x_{1}x_{1}}(a)>0 implicam mínimo relativo e (ii) D>0 e f_{x_{1}x_{1}}(a)<0 implicam máximo relativo? (Também é útil saber o que acontece quando D<0 ou D=0.)

Passo 2

Começamos com a ideia chave: em um ponto crítico a comparação entre f(x) e f(a) para pontos próximos a a é dominada pelos termos quadráticos da expansão de Taylor de f em torno de a. Escrevendo h=(h_1,h_2) com x=a+h, a expansão de Taylor até segunda ordem é
f(a+h)=f(a)+\nabla f(a)\cdot h+\tfrac{1}{2}h^{T}H(a)h+o(\|h\|^{2}),
onde H(a) é a matriz Hessiana em a com entradas H(a)=\bigl(f_{x_i x_j}(a)\bigr). Como a é ponto crítico, \nabla f(a)=0, então o termo linear some e obtemos, para h pequeno,
f(a+h)-f(a)=\tfrac{1}{2}h^{T}H(a)h+o(\|h\|^{2}).
Portanto a natureza de a (mínimo, máximo, sela) é determinada pelo sinal do termo quadrático principal
Q(h):=\tfrac{1}{2}h^{T}H(a)h.
Se Q(h)>0 para todo h\neq 0 (definida positiva), então f(a+h)>f(a) para h pequeno e a é mínimo local. Se Q(h)<0 para todo h\neq 0 (definida negativa), então a é máximo local. Se Q assume sinais opostos (indefinida) então a é ponto de sela.

Passo 3

Para entender Q(h) explicitamente, escrevemos H(a) na forma
H(a)=\begin{pmatrix} A & B\\[4pt] B & C \end{pmatrix},
onde A:=f_{x_{1}x_{1}}(a),\;B:=f_{x_{1}x_{2}}(a)=f_{x_{2}x_{1}}(a),\;C:=f_{x_{2}x_{2}}(a). Então
Q(h)=\tfrac{1}{2}\bigl(A h_1^2 + 2B h_1 h_2 + C h_2^2\bigr).
O fator \tfrac{1}{2} não altera o sinal, então, para estudar sinal, podemos olhar para
\tilde Q(h):=A h_1^2 + 2B h_1 h_2 + C h_2^2.]

Passo 4

Uma maneira direta de analisar \tilde Q é completar quadrados (supondo A\neq 0 momentaneamente). Temos
\tilde Q(h)=A\Bigl(h_1+\frac{B}{A}h_2\Bigr)^2 + \Bigl(C-\frac{B^2}{A}\Bigr)h_2^2.
Explicando cada termo: o primeiro termo é um quadrado multiplicado por A; o segundo termo é o que sobra após a “eliminação” do produto cruzado. Então:
  • Se A>0 e C-\dfrac{B^2}{A}>0 então ambos termos são não negativos e a soma só é zero quando h_1=h_2=0, logo \tilde Q(h)>0 para todo h\neq 0 (positiva definida).
  • Se A<0 e C-\dfrac{B^2}{A}<0 então \tilde Q(h)<0 para todo h\neq 0 (negativa definida).
    Note que
C-\frac{B^2}{A}=\frac{AC-B^2}{A}=\frac{D}{A}.
Portanto as condições acima podem ser reescritas em termos de D.

Passo 5

Usando a relação do passo anterior chegamos às condições em termos de A e D:
  • Se D>0 e A>0 então \dfrac{D}{A}>0 e assim \tilde Q é positiva definida. Isso implica Q(h)>0 para h\neq 0 e, por consequência, f(a+h)>f(a) para h pequeno: a é mínimo relativo.
  • Se D>0 e A<0 então \dfrac{D}{A}<0 e \tilde Q é negativa definida. Isso implica Q(h)<0 para h\neq 0 e a é máximo relativo.
    Essas são exatamente as condições (i) e (ii) do enunciado, lembrando que pode-se também checar C em lugar de A (ou seja, f_{x_2x_2}) porque se D>0 então A e C têm o mesmo sinal; basta um deles para decidir se é positivo ou negativo.

Passo 6

Agora, o que ocorre quando D\le 0?
  • Se D<0, então AC-B^2<0. Nesse caso \tilde Q é indefinida: existem vetores h com \tilde Q(h)>0 e outros com \tilde Q(h)<0. Assim a é ponto de sela (não é nem mínimo nem máximo).
  • Se D=0, o teste é inconclusivo: a forma quadrática é semidefinida (pode ser zero numa direção não nula), e termos de ordem superior na expansão de Taylor podem decidir o caso. Ou seja, quando D=0 é necessário investigar termos de ordem mais alta ou analisar f em direções específicas para classificar a.

Passo 7

Mostro exemplos rápidos — isso ajuda a fixar como aplicar o teste numa prova:
Exemplo (mínimo):
Considere f(x,y)=x^2+y^2. Então
f_{x_1x_1}=2,\quad f_{x_1x_2}=0,\quad f_{x_2x_2}=2.
Logo D=2\cdot 2-0^2=4>0 e f_{x_1x_1}=2>0. Pelo teste, a origem é mínimo local.
Exemplo (máximo):
Considere f(x,y)=-x^2-y^2. Aqui
f_{x_1x_1}=-2,\quad f_{x_1x_2}=0,\quad f_{x_2x_2}=-2,
então D=4>0 e f_{x_1x_1}=-2<0. Pelo teste, a origem é máximo local.
Exemplo (sela):
Considere f(x,y)=x^2-y^2. Aqui
f_{x_1x_1}=2,\quad f_{x_1x_2}=0,\quad f_{x_2x_2}=-2,
logo D=2\cdot(-2)-0^2=-4<0. Pelo teste, a origem é ponto de sela.
Exemplo (inconclusivo):
Considere f(x,y)=x^4+y^4. No ponto 0 todas as segundas derivadas são zero: A=B=C=0, então D=0. O teste da segunda diferencial falha aqui e é preciso olhar termos de ordem maior para concluir que 0 é mínimo (porque x^4+y^4\ge 0), mas isso sai do teste de segunda ordem.

Passo 8

Receita prática que você pode usar na prova (passo a passo rápido):
  1. Calcule \nabla f(x) e encontre pontos críticos resolvendo \nabla f=0.
  2. Em cada ponto crítico a, calcule A=f_{x_{1}x_{1}}(a),\;B=f_{x_{1}x_{2}}(a),\;C=f_{x_{2}x_{2}}(a).
  3. Calcule D=AC-B^2.
  4. Interprete:
    • Se D>0 e A>0 então mínimo relativo.
    • Se D>0 e A<0 então máximo relativo.
    • Se D<0 então ponto de sela.
    • Se D=0 então o teste é inconclusivo — examine termos de ordem maior ou considere f em direções específicas.
  5. Se for pedir justificativa, explique via expansão de Taylor e positividade/negatividade da forma quadrática (como fiz acima).

Passo 9

Resumo final (para decorar e aplicar rápido): o determinante D mede se a forma quadrática é definida (quando D>0) ou indefinida (quando D<0). O sinal de f_{x_{1}x_{1}}(a) (ou de f_{x_{2}x_{2}}(a)) indica se a forma definida é positiva (mínimo) ou negativa (máximo). Quando D=0 o teste não decide.

Resposta

(i) mínimo relativo se f_{x_{1}x_{1}}(a)\,f_{x_{2}x_{2}}(a)-\bigl[f_{x_{1}x_{2}}(a)\bigr]^2>0 e f_{x_{1}x_{1}}(a)>0 (ou f_{x_{2}x_{2}}(a)>0).
(ii) máximo relativo se f_{x_{1}x_{1}}(a)\,f_{x_{2}x_{2}}(a)-\bigl[f_{x_{1}x_{2}}(a)\bigr]^2>0 e f_{x_{1}x_{1}}(a)<0 (ou f_{x_{2}x_{2}}(a)<0).

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