Vou escrever com clareza o que o enunciado pede e listar as informações dadas (cada sistema é independente). O pedido é: “Em cada um dos sistemas abaixo encontre, usando o método de Gauss, sua solução geral.”
O objetivo para cada sistema: usar eliminação de Gauss (operações elementares em linhas da matriz aumentada) para encontrar a solução geral (se existir), ou concluir que o sistema é incompatível.]
Passo 2
Rápida aula sobre o método de Gauss (sem pular etapas):
Monta-se a matriz aumentada do sistema (coeficientes + coluna dos termos independentes).
Usa-se apenas três tipos de operações em linhas (que não mudam o conjunto de soluções): trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, e somar à uma linha um múltiplo de outra linha.
O objetivo é obter uma forma escalonada (ou escalonada reduzida), onde se identifica quais variáveis são pivôs (ligadas) e quais são livres. O número de variáveis livres será igual a n-\operatorname{rank}, com n número de incógnitas.
Se numa linha escalonada todas as entradas dos coeficientes forem zero e o termo independente for diferente de zero, tem-se uma contradição 0= número não zero → sistema incompatível.
Agora aplico isso passo a passo em cada sistema.
Passo 3
Resolução do Sistema (I).
Matriz aumentada inicial (coluna direita são os termos independentes):
Interpretação: o posto (rank) da matriz de coeficientes é 2 (duas linhas não nulas). Há 4 incógnitas (x,y,z,t), portanto 4-2=2 variáveis livres. Vou tomar z e t como parâmetros livres: defina
Isto representa a equação 0 = -\tfrac{3}{2}, uma contradição. Conclusão: o sistema é incompatível (não existe vetor (x,y,z,t) que satisfaça todas as equações). Portanto não há solução.]