Em cada um dos sistemas abaixo encontre, usando o metódo de Gauss, sua solução geral:
\left\{\begin{array}{rrr} 4 x+3 y-z+t & =4 \\ x-y+2 z-t & =0 \\ 5 x+2 y+z & =4 \end{array} ; \quad\left\{\begin{array}{rrrr} x+5 y+4 z-13 z & =3 \\ 3 x-y+2 z+5 t & =2 \\ 2 x+2 y+3 z-4 t & =1 \end{array} ; \quad\left\{\begin{array}{rrrr} x-y+2 z & -t & =0 \\ 3 x+y+3 z & +t & =0 \\ x-y & -z & -5 t & =0 \end{array} .\right.\right.\right.

Passo 1

Vou escrever com clareza o que o enunciado pede e listar as informações dadas (cada sistema é independente). O pedido é: “Em cada um dos sistemas abaixo encontre, usando o método de Gauss, sua solução geral.”
Os três sistemas são:
Sistema (I)
\begin{cases} 4x+3y-z+t=4,\\[4pt] x-y+2z-t=0,\\[4pt] 5x+2y+z=4. \end{cases}
Sistema (II) — aqui interpretei o termo ambíguo " -13 z" como " -13t", porque as outras equações usam t; portanto tomo a primeira equação como
\begin{cases} x+5y+4z-13t=3,\\[4pt] 3x-y+2z+5t=2,\\[4pt] 2x+2y+3z-4t=1. \end{cases}
Sistema (III)
\begin{cases} x-y+2z-t=0,\\[4pt] 3x+y+3z+t=0,\\[4pt] x-y-z-5t=0. \end{cases}
O objetivo para cada sistema: usar eliminação de Gauss (operações elementares em linhas da matriz aumentada) para encontrar a solução geral (se existir), ou concluir que o sistema é incompatível.]

Passo 2

Rápida aula sobre o método de Gauss (sem pular etapas):
  • Monta-se a matriz aumentada do sistema (coeficientes + coluna dos termos independentes).
  • Usa-se apenas três tipos de operações em linhas (que não mudam o conjunto de soluções): trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, e somar à uma linha um múltiplo de outra linha.
  • O objetivo é obter uma forma escalonada (ou escalonada reduzida), onde se identifica quais variáveis são pivôs (ligadas) e quais são livres. O número de variáveis livres será igual a n-\operatorname{rank}, com n número de incógnitas.
  • Se numa linha escalonada todas as entradas dos coeficientes forem zero e o termo independente for diferente de zero, tem-se uma contradição 0= número não zero → sistema incompatível.
Agora aplico isso passo a passo em cada sistema.

Passo 3

Resolução do Sistema (I).
Matriz aumentada inicial (coluna direita são os termos independentes):
\left[\begin{array}{cccc|c} 4 & 3 & -1 & 1 & 4\\[4pt] 1 & -1 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 5 & 2 & 1 & 0 & 4 \end{array}\right].
Escolho como primeiro pivô a linha com 1 (segunda linha). Troco R_1\leftrightarrow R_2:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 4 & 3 & -1 & 1 & 4\\[4pt] 5 & 2 & 1 & 0 & 4 \end{array}\right].
Elimino as entradas abaixo do pivô na coluna 1:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1,
  • R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1.
Cálculos linha a linha:
  • R_2: [4-4\cdot1,\;3-4(-1),\;-1-4\cdot2,\;1-4(-1),\;4-4\cdot0] = [0,7,-9,5,4].
  • R_3: [5-5\cdot1,\;2-5(-1),\;1-5\cdot2,\;0-5(-1),\;4-5\cdot0] = [0,7,-9,5,4].
A matriz vira
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 7 & -9 & 5 & 4\\[4pt] 0 & 7 & -9 & 5 & 4 \end{array}\right].
Agora faço R_3 \leftarrow R_3 - R_2 para zerar a terceira linha:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 7 & -9 & 5 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Interpretação: o posto (rank) da matriz de coeficientes é 2 (duas linhas não nulas). Há 4 incógnitas (x,y,z,t), portanto 4-2=2 variáveis livres. Vou tomar z e t como parâmetros livres: defina
z=s,\qquad t=r,\quad s,r\in\mathbb{R}.
A partir da segunda linha (equação escalonada):
7y-9z+5t=4 \quad\Rightarrow\quad 7y=4+9z-5t.
Logo
y=\frac{4+9z-5t}{7}=\frac{4+9s-5r}{7}.
Da primeira linha:
x-y+2z-t=0 \quad\Rightarrow\quad x=y-2z+t.
Substituindo y:
x=\frac{4+9s-5r}{7}-2s+r=\frac{4+9s-5r-14s+7r}{7}=\frac{4-5s+2r}{7}.
Portanto a solução geral do Sistema (I) é
\boxed{\,x=\dfrac{4-5s+2r}{7},\quad y=\dfrac{4+9s-5r}{7},\quad z=s,\quad t=r,\quad s,r\in\mathbb{R}. \,}]

Passo 4

Resolução do Sistema (II).
Matriz aumentada inicial (usando a interpretação -13t na primeira equação):
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 5 & 4 & -13 & 3\\[4pt] 3 & -1 & 2 & 5 & 2\\[4pt] 2 & 2 & 3 & -4 & 1 \end{array}\right].
Uso R_1 com pivô 1. Elimino abaixo:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1,
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.
Calculemos:
  • R_2: [3-3\cdot1,\; -1-3\cdot5,\; 2-3\cdot4,\; 5-3(-13),\;2-3\cdot3] = [0,\; -16,\; -10,\; 5+39=44,\; 2-9=-7].
  • R_3: [2-2\cdot1,\;2-2\cdot5,\;3-2\cdot4,\;-4-2(-13),\;1-2\cdot3] = [0,\; -8,\; -5,\; -4+26=22,\; 1-6=-5].
Matriz agora:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 5 & 4 & -13 & 3\\[4pt] 0 & -16 & -10 & 44 & -7\\[4pt] 0 & -8 & -5 & 22 & -5 \end{array}\right].
Para zerar R_3 usando R_2, faço R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{1}{2}R_2 (porque -8 - \tfrac{1}{2}(-16)=0):
  • Coeficientes: -5 - \tfrac{1}{2}(-10) = -5 +5 =0.
  • Para a coluna dos t: 22 - \tfrac{1}{2}(44) = 22-22=0.
  • Termo independente: -5 - \tfrac{1}{2}(-7) = -5 + \tfrac{7}{2} = -\tfrac{10}{2} + \tfrac{7}{2} = -\tfrac{3}{2}.
Logo a terceira linha fica
[0\; 0\; 0\; 0\;|\; -\tfrac{3}{2}].
Isto representa a equação 0 = -\tfrac{3}{2}, uma contradição. Conclusão: o sistema é incompatível (não existe vetor (x,y,z,t) que satisfaça todas as equações). Portanto não há solução.]

Passo 5

Resolução do Sistema (III).
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 3 & 1 & 0\\[4pt] 1 & -1 & -1 & -5 & 0 \end{array}\right].
Uso R_1 como pivô na coluna 1. Elimino abaixo:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1,
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Cálculos:
  • R_2: [3-3\cdot1,\;1-3(-1),\;3-3\cdot2,\;1-3(-1),\;0-3\cdot0] = [0,4,-3,4,0].
  • R_3: [1-1,\;-1-(-1),\;-1-2,\;-5-(-1),\;0-0] = [0,0,-3,-4,0].
Matriz escalonada:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 4 & -3 & 4 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -3 & -4 & 0 \end{array}\right].
Agora fazemos substituição para escrever as variáveis em função de parâmetros. Observando a terceira linha:
-3z-4t=0 \quad\Rightarrow\quad -3z=4t \quad\Rightarrow\quad z=-\frac{4}{3}t.
Da segunda linha:
4y-3z+4t=0 \quad\Rightarrow\quad 4y=3z-4t.
Substituo z=-\tfrac{4}{3}t:
4y=3\left(-\tfrac{4}{3}t\right)-4t=-4t-4t=-8t \quad\Rightarrow\quad y=-2t.
Da primeira linha:
x-y+2z-t=0 \quad\Rightarrow\quad x=y-2z+t.
Substituo y=-2t e z=-\tfrac{4}{3}t:
x=-2t-2\left(-\tfrac{4}{3}t\right)+t = -2t + \tfrac{8}{3}t + t = \left(-2 + \tfrac{8}{3} + 1\right)t = \tfrac{5}{3}t.
Aqui t é parâmetro livre. Denote t=\tau\in\mathbb{R}. Assim a solução geral do Sistema (III) é
\boxed{\,x=\tfrac{5}{3}\tau,\quad y=-2\tau,\quad z=-\tfrac{4}{3}\tau,\quad t=\tau,\quad \tau\in\mathbb{R}. \,}]

Resposta

Sistema (I): x=\dfrac{4-5s+2r}{7},\; y=\dfrac{4+9s-5r}{7},\; z=s,\; t=r,\; s,r\in\mathbb{R}.
Sistema (II): o sistema é incompatível (não tem solução).
Sistema (III): x=\dfrac{5}{3}\tau,\; y=-2\tau,\; z=-\dfrac{4}{3}\tau,\; t=\tau,\; \tau\in\mathbb{R}.

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