O sistema dado (com parâmetro \lambda\)) é
\[\begin{cases} x_{1}-2x_{2}-x_{3}+x_{4}=-2,\\[4pt] 2x_{1}+7x_{2}+3x_{3}+x_{4}=6,\\[4pt] 11x_{1}+11x_{2}+4x_{3}+8x_{4}=8,\\[4pt] 10x_{1}+2x_{2}+0x_{3}+8x_{4}=\lambda. \end{cases}
O que o enunciado pede: encontrar a solução do sistema dependendo do valor do parâmetro \lambda\]. Ou seja:
- determinar para quais \(\lambda o sistema é impossível, determinado ou indeterminado;
- quando houver soluções, escrever a solução geral (se for infinitas, parametrizar).]
Passo 2
Vou aplicar eliminação de Gauss (operações elementares em linhas) no sistema representado pela matriz aumentada. A matriz aumentada inicial é
Operações elementares que usarei: trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra. Essas operações preservam o conjunto de soluções do sistema.]
Passo 3
Primeiro uso a primeira linha como pivô para zerar abaixo na coluna 1:
A quarta linha é 0=\lambda. Para que o sistema seja consistente (tenha solução) é necessário e suficiente que essa equação seja verdadeira, ou seja, que \lambda=0.
Portanto:
Se \lambda\neq 0 então a quarta linha diz 0=\lambda com \lambda\neq 0, impossível. Logo não há solução.
Se \lambda=0 então a quarta (e terceira) linha são 0=0 e sobram duas equações não triviais (as linhas 1 e 2). Então o posto da matriz dos coeficientes é \mathrm{rank}=2 e há 4-2=2 variáveis livres → infinitas soluções com dimensão de espaço de soluções igual a 2.
Passo 6
Agora resolvo explicitamente quando \lambda=0\). As duas equações não triviais (após eliminação) são equivalentes às originais reduzidas:
\[\begin{cases} x_{1}-2x_{2}-x_{3}+x_{4}=-2,\\[4pt] 11x_{2}+5x_{3}-x_{4}=10. \end{cases}
Escolho as variáveis livres x_{3}\] e \(x_{4}. Denote \displaystyle x_{3}=s,\quad x_{4}=t, com s,t\in\mathbb{R} arbitrários.
Da segunda equação:
11x_{2}+5s - t = 10 \quad\Longrightarrow\quad 11x_{2}=10-5s+t,
portanto
x_{2}=\dfrac{10-5s+t}{11}.
Da primeira equação:
x_{1}= -2 +2x_{2} + x_{3} - x_{4}.
Substituindo x_{2}, x_{3}=s, x_{4}=t:
x_{1}=-2 +2\cdot\dfrac{10-5s+t}{11} + s - t.
Faço a soma cuidadosamente (colocando em denominador 11):
x_{1}=\dfrac{-22 + 20 -10s +2t}{11} + s - t = \dfrac{-2 -10s +2t}{11} + \dfrac{11s -11t}{11} = \dfrac{-2 + s -9t}{11}.
Resumo prático e incentivo: em problemas com parâmetro, a eliminação de Gauss normalmente revela linhas nulas e equações do tipo 0=\text{expressão em }\lambdaã. Essas equações impõem condições sobre o parâmetro para existência de solução. Quando o posto da matriz dos coeficientes é menor que o número de incógnitas, aparecem variáveis livres e portanto infinitas soluções — aí parametrize como fizemos com s,t. Você já fez o mais difícil: identificar a condição \lambda=0 e escrever a família de soluções.
Resposta
Para \lambda\neq 0: não há solução (sistema incompatível).
Para \lambda=0: infinitas soluções, dadas por
x_{1}=\dfrac{-2 + s -9t}{11},\qquad x_{2}=\dfrac{10 -5s + t}{11},\qquad x_{3}=s,\qquad x_{4}=t,