Resolva o sistema dependendo dos valores dos parámetros respectivos:
\left\lvert\,\begin{array}{ccccc}x_{1}- & 2 x_{2}- & x_{3}+ & x_{4} & =-2 \\\\ 2 x_{1}+ & 7 x_{2}+ & 3 x_{3}+ & x_{4} & =6 \\\\ 11 x_{1}+ & 11 x_{2}+ & 4 x_{3}+ & 8 x_{4} & =8 \\\\ 10 x_{1}+2 x_{2}+ & & & 8 x_{4} & =\lambda\end{array}\right..

Passo 1

O sistema dado (com parâmetro \lambda\)) é \[\begin{cases} x_{1}-2x_{2}-x_{3}+x_{4}=-2,\\[4pt] 2x_{1}+7x_{2}+3x_{3}+x_{4}=6,\\[4pt] 11x_{1}+11x_{2}+4x_{3}+8x_{4}=8,\\[4pt] 10x_{1}+2x_{2}+0x_{3}+8x_{4}=\lambda. \end{cases}
O que o enunciado pede: encontrar a solução do sistema dependendo do valor do parâmetro \lambda\]. Ou seja: - determinar para quais \(\lambda o sistema é impossível, determinado ou indeterminado;
- quando houver soluções, escrever a solução geral (se for infinitas, parametrizar).]

Passo 2

Vou aplicar eliminação de Gauss (operações elementares em linhas) no sistema representado pela matriz aumentada. A matriz aumentada inicial é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -1 & 1 & -2\\[4pt] 2 & 7 & 3 & 1 & 6\\[4pt] 11 & 11 & 4 & 8 & 8\\[4pt] 10 & 2 & 0 & 8 & \lambda \end{array}\right].
Operações elementares que usarei: trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra. Essas operações preservam o conjunto de soluções do sistema.]

Passo 3

Primeiro uso a primeira linha como pivô para zerar abaixo na coluna 1:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,
  • R_3 \leftarrow R_3 - 11R_1,
  • R_4 \leftarrow R_4 - 10R_1.
Calculemos cada nova linha:
  • R_2: (2,7,3,1,6)-2(1,-2,-1,1,-2)=(0,11,5,-1,10).
  • R_3: (11,11,4,8,8)-11(1,-2,-1,1,-2)=(0,33,15,-3,30).
  • R_4: (10,2,0,8,\lambda)-10(1,-2,-1,1,-2)=(0,22,10,-2,\lambda+20).
A matriz fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -1 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 11 & 5 & -1 & 10\\[4pt] 0 & 33 & 15 & -3 & 30\\[4pt] 0 & 22 & 10 & -2 & \lambda+20 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora uso a segunda linha R_2 (com pivô em coluna 2) para zerar as entradas abaixo na coluna 2:
  • R_3 \leftarrow R_3 - 3R_2,
  • R_4 \leftarrow R_4 - 2R_2.
Calculemos:
  • R_3: (0,33,15,-3,30)-3(0,11,5,-1,10)=(0,0,0,0,0).
  • R_4: (0,22,10,-2,\lambda+20)-2(0,11,5,-1,10)=(0,0,0,0,\lambda).
A matriz escalonada fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -1 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 11 & 5 & -1 & 10\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \end{array}\right].]

Passo 5

Interpretação das últimas duas linhas:
  • A terceira linha é 0=0 (linha nula).
  • A quarta linha é 0=\lambda. Para que o sistema seja consistente (tenha solução) é necessário e suficiente que essa equação seja verdadeira, ou seja, que \lambda=0.
Portanto:
  • Se \lambda\neq 0 então a quarta linha diz 0=\lambda com \lambda\neq 0, impossível. Logo não há solução.
  • Se \lambda=0 então a quarta (e terceira) linha são 0=0 e sobram duas equações não triviais (as linhas 1 e 2). Então o posto da matriz dos coeficientes é \mathrm{rank}=2 e há 4-2=2 variáveis livres → infinitas soluções com dimensão de espaço de soluções igual a 2.

Passo 6

Agora resolvo explicitamente quando \lambda=0\). As duas equações não triviais (após eliminação) são equivalentes às originais reduzidas: \[\begin{cases} x_{1}-2x_{2}-x_{3}+x_{4}=-2,\\[4pt] 11x_{2}+5x_{3}-x_{4}=10. \end{cases}
Escolho as variáveis livres x_{3}\] e \(x_{4}. Denote \displaystyle x_{3}=s,\quad x_{4}=t, com s,t\in\mathbb{R} arbitrários.
Da segunda equação:
11x_{2}+5s - t = 10 \quad\Longrightarrow\quad 11x_{2}=10-5s+t,
portanto
x_{2}=\dfrac{10-5s+t}{11}.
Da primeira equação:
x_{1}= -2 +2x_{2} + x_{3} - x_{4}.
Substituindo x_{2}, x_{3}=s, x_{4}=t:
x_{1}=-2 +2\cdot\dfrac{10-5s+t}{11} + s - t.
Faço a soma cuidadosamente (colocando em denominador 11):
x_{1}=\dfrac{-22 + 20 -10s +2t}{11} + s - t = \dfrac{-2 -10s +2t}{11} + \dfrac{11s -11t}{11} = \dfrac{-2 + s -9t}{11}.
Logo a solução geral (quando \lambda=0) é
\begin{cases} x_{1}=\dfrac{-2 + s -9t}{11},\\[6pt] x_{2}=\dfrac{10 -5s + t}{11},\\[6pt] x_{3}=s,\\[6pt] x_{4}=t, \end{cases} \qquad s,t\in\mathbb{R}.
Podemos também escrever em forma vetorial:
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{2}{11}\\[4pt]\tfrac{10}{11}\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix}\tfrac{1}{11}\\[4pt]-\tfrac{5}{11}\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}-\tfrac{9}{11}\\[4pt]\tfrac{1}{11}\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}, \quad s,t\in\mathbb{R}.]

Passo 7

Resumo prático e incentivo: em problemas com parâmetro, a eliminação de Gauss normalmente revela linhas nulas e equações do tipo 0=\text{expressão em }\lambdaã. Essas equações impõem condições sobre o parâmetro para existência de solução. Quando o posto da matriz dos coeficientes é menor que o número de incógnitas, aparecem variáveis livres e portanto infinitas soluções — aí parametrize como fizemos com s,t. Você já fez o mais difícil: identificar a condição \lambda=0 e escrever a família de soluções.

Resposta

Para \lambda\neq 0: não há solução (sistema incompatível).
Para \lambda=0: infinitas soluções, dadas por
x_{1}=\dfrac{-2 + s -9t}{11},\qquad x_{2}=\dfrac{10 -5s + t}{11},\qquad x_{3}=s,\qquad x_{4}=t,
com s,t\in\mathbb{R}.

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