Decida se é melhor utilizar coordenadas cilindricas ou esféricas para calcular a integral em cada um casos abaixo.
© integral-a^a integral-raiza^2-y^2^raiza^2-y^2 integral-raiza^2-x^2-y^2^raiza^2-x^2-y^2 x^2 z+y^2 z+z^3 d z d x d y.

Passo 1

A integral está em
integral-a^aintegral-raiza^2-y^2^raiza^2-y^2integral-raiza^2-x^2-y^2^raiza^2-x^2-y^2(x^2z+y^2z+z^3),dz,dx,dy
o domínio é dado por
x^2+y^2+z^2<= a^2
e a integranda é
f(x,y,z)=x^2z+y^2z+z^3

Passo 2

O domínio é uma esfera de raio a centrada na origem. Isso indica naturalmente o uso de coordenadas esféricas, onde os limites ficam simples: rin[0,a], thetain[0,2pi], phiin[0,pi].

Passo 3

Na hora de trocar, usamos:
x^2+y^2+z^2=r^2, z=rcosphi
Então a integranda vira
f=r^2(rcosphi)=r^3cosphi
e o jacobiano é
r^2sinphi
Resultando em uma integral em que tudo se separa bem: r^5sinphicosphi.

Resposta

Coordenadas esféricas

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