A derivada da função f(x)=5^x(x^4-3 x^2+7) é:
a. f^prime(x)=5^x(4 x^3-6 x)
b. f^prime(x)=5^x(x^4-3 x^2+7)+5^x(4 x^3-6 x)
c. Nenhuma das alternativas disponíveis.
d. f^prime(x)=5^x ln 5(x^4-3 x^2+7)+5^x(x^3-3 x)
e. f^prime(x)=5^x ln 5+4 x^3-6 x
f. f^prime(x)=5^x ln 5(x^4-3 x^2+7)+5^x(4 x^3-6 x)
g. f^prime(x)=5^x+4 x^3-6 x

Passo 1

Beleza, a gente tem que achar a derivada da função $ f(x) = 5{x}\left(x{4} - 3x^{2} + 7\right) $. Isso envolve o conteúdo de derivadas, especificamente a regra do produto, já que temos duas funções multiplicadas. Vamos precisar lembrar como derivar funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que temos um produto de duas funções: $ u(x) = 5^{x} $ e $ v(x) = x^{4} - 3x^{2} + 7 $. Para derivar $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $, usamos a regra do produto: $ f’(x) = u’(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v’(x) $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ u(x) = 5^{x} $. A derivada de uma função exponencial $ a^{x} $ é $ a^{x} \ln(a) $. Então:
u(x) = 5^x

Passo 4

Agora, vamos derivar $ v(x) = x^{4} - 3x^{2} + 7 $. A derivada de $ x^{n} $ é $ n x^{n-1} $, e a derivada de uma constante é zero. Então:
v(x) = x^4 - 3x^2 + 7

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Substituindo:
f'(x) = 5^x ln(5) (x^4 - 3x^2 + 7) + 5^x (4x^3 - 6x)

Resposta

A derivada correta é a opção f:
f^prime(x) = 5^x ln 5(x^4 - 3x^2 + 7) + 5^x(4x^3 - 6x)

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