Decida se é melhor utilizar coordenadas cilindricas ou esféricas para calcular a integral em cada um casos abaixo.
(a)
, onde
é a região delimitada pelas eferas centradas na origem e de raios
e
, com
.
(a)
Passo 1
Temos a integral $,\iiint_{E} \frac{1}{\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}},dV$, onde \E\ é o anel esférico entre as esferas de raios \r\ e \R\. O conteúdo é integral tripla e precisamos escolher o sistema de coordenadas mais apropriado.
Passo 2
A região \E\ e o integrando $1/\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}$ dependem apenas da distância ao centro (simetria esférica). Em coordenadas esféricas temos \rho\ como essa distância.
Passo 3
Em coordenadas esféricas o elemento de volume é \rho^{2}\sin\phi,d\rho,d\phi,d\theta\, e o integrando \frac{1}{\rho}\ simplifica a expressão, resultando em uma integral direta em \rho\, \phi\ e \theta\.
Passo 4
Portanto, fica muito mais simples parametrizar e calcular a integral usando coordenadas esféricas do que usar coordenadas cilíndricas.
Resposta
Coordenadas esféricas