Decida se é melhor utilizar coordenadas cilindricas ou esféricas para calcular a integral em cada um casos abaixo.
(a) integral triplaE 1(x^2+y^2+z^2)^1 / 2 d V, onde E é a região delimitada pelas eferas centradas na origem e de raios r e R, com 0.

Passo 1

Temos a integral $,\iiint_{E} \frac{1}{\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}},dV$, onde \E\ é o anel esférico entre as esferas de raios \r\ e \R\. O conteúdo é integral tripla e precisamos escolher o sistema de coordenadas mais apropriado.

Passo 2

A região \E\ e o integrando $1/\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}$ dependem apenas da distância ao centro (simetria esférica). Em coordenadas esféricas temos \rho\ como essa distância.

Passo 3

Em coordenadas esféricas o elemento de volume é \rho^{2}\sin\phi,d\rho,d\phi,d\theta\, e o integrando \frac{1}{\rho}\ simplifica a expressão, resultando em uma integral direta em \rho\, \phi\ e \theta\.

Passo 4

Portanto, fica muito mais simples parametrizar e calcular a integral usando coordenadas esféricas do que usar coordenadas cilíndricas.

Resposta

Coordenadas esféricas

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