Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral tripla.
© integral0^1 integral-2 x^1 integral0^x+y 2 x d z d y d x.

Passo 1

A gente tem a integral tripla integral0^1integral-2x^1integral0^x+y2x,dz,dy,dxO conteúdo é cálculo de integrais triplas e vamos precisar esboçar a região de integração e usar integração iterada.

Passo 2

No plano xy, a projeção R da região é dada por 0<= x<=1 e -2x<= y<=1. Se você desenhar, verá um trapézio que vai de x=0 até x=1, com limite inferior de y=-2x (reta decrescente) e limite superior y=1.
Em 3D, a região fica entre o plano z=0 (base) e o plano inclinado z=x+y. Para cada ponto (x,y)in R, a altura vai de z=0 até z=x+y, formando um ‘sólido inclinado’.

Passo 3

Começamos integrando em z. Como o integrando 2x independe de z, temos:
integral0^x+y2x,dz=2x,(x+y)

Passo 4

Agora integramos em y:
integral-2x^12x(x+y),dy=2xintegral-2x^1(x+y),dy=2xl[x,y+tfracy^22r]y=-2x^y=1 =2xl((x+tfrac12)-0r)=2x^2+x

Passo 5

Por fim, integramos em x:
integral0^1(2x^2+x),dx=l[tfrac2x^33+tfracx^22r]0^1=tfrac23+tfrac12=tfrac76

Resposta

tfrac76

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