Use, se possível, a Regra de L’Hospital para calcular os limites abaixo:

Passo 1

Temos o limite limxto1raiz[5](3 - x^3)^4 - 161 - x^3. O conteúdo de matéria é avaliação de limites em forma indeterminada 0/0 e uso da Regra de L’Hospital no quociente interno, seguido de aplicação da raiz quinta.

Passo 2

Vamos checar a forma indeterminada substituindo x=1:
(3 - 1^3)^4 - 16 = 2^4 - 16 = 16 - 16 = 0,
1 - 1^3 = 0
Logo, o quociente interno é 0/0, então podemos usar L’Hospital.

Passo 3

Pela Regra de L’Hospital, derivamos numerador e denominador separadamente. Derivada do numerador:
ddxl[(3 - x^3)^4 - 16r] = 4(3 - x^3)^3 cdot (-3x^2) = -12x^2(3 - x^3)^3

Passo 4

Derivada do denominador:
ddx(1 - x^3) = -3x^2

Passo 5

O limite do quociente interno vira
limxto1-12x^2(3 - x^3)^3-3x^2 = limxto14(3 - x^3)^3 = 4cdot2^3 = 32

Passo 6

Como a função y=raiz[5]y é contínua, o limite original é
raiz[5]32 = 2

Resposta

2

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