Esboce no plano complexo o conjunto de pontos z que satisfazem cada uma das condições abaixo.
(i)

Passo 1

A questão pede para esboçar no plano complexo o lugar geométrico dos pontos z que satisfazem Re(z^2)<0. O que vamos usar: representação cartesiana z=x+iy, cálculo de z^2 e a desigualdade que aparece na parte real.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy e lembrando que z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+i,2xy, vemos que a parte real de z^2 é
Re(z^2)=x^2-y^2
Então a condição Re(z^2)<0 vira
x^2-y^2<0
ou seja
y^2>x^2Long<=ftrightarrow|y|>|x|

Passo 3

A desigualdade |y|>|x| diz que a coordenada imaginária em módulo é maior que a real em módulo. Geometricamente, isso define a união de dois setores abertos: um acima da reta y=x e da reta y=-x, e outro simétrico abaixo.
No esboço, traçamos as retas y=x e y=-x e sombreiamo as regiões onde |y|>|x|. Essas regiões correspondem aos setores de argumento
arg(z)in(tfracpi4,tfrac3pi4)cup(-tfrac3pi4,-tfracpi4)

Resposta

O conjunto é x+iy:,y^2>x^2, isto é, a união dos setores abertos de argumento em (pi/4,3pi/4)cup(-3pi/4,-pi/4), sombreados entre as retas y=pm x.

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