Decida se são verdadeiras (\mathrm{V}) ou falsas (\mathrm{F}) as afirmações abaixo, justificando sua resposta.
\left(1,0\right. ponto) A equação \left[4 \frac{x^{3}}{y^{2}}+\frac{3}{y}\right] d x+\left[3 \frac{x}{y^{2}}+4 y\right] d y=0 é uma equação exata.

Passo 1

O enunciado pede que eu decida se a afirmação abaixo é verdadeira (\mathrm{V}) ou falsa (\mathrm{F}) e justifique:
\left[4 \frac{x^{3}}{y^{2}}+\frac{3}{y}\right] dx+\left[3 \frac{x}{y^{2}}+4 y\right] dy=0
As informações fornecidas que vou usar são:
M(x,y)=4\frac{x^{3}}{y^{2}}+\frac{3}{y}
N(x,y)=3\frac{x}{y^{2}}+4y
Também observo que as expressões usam divisão por y, portanto a região natural de definição é com y\neq 0. Neste passo não resolvo nada ainda, só escrevi o que o problema dá e o que pede.

Passo 2

Definição e critério de exatidão (explicado devagarinho): uma equação diferencial da forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é exata em uma região se existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M\qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \psi}{\partial y}=N.
Se M e N têm derivadas parciais contínuas, uma condição necessária e suficiente de exatidão é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
na região considerada. Aqui, a operação \partial/\partial y significa “derivar mantendo x fixo” e \partial/\partial x significa “derivar mantendo y fixo”.

Passo 3

Calculo \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y} passo a passo. Escrevo M como potências de y:
M(x,y)=4x^{3}y^{-2}+3y^{-1}.
Derivo termo a termo em relação a y, lembrando que \dfrac{d}{dy}(y^{n})=n\,y^{n-1}:
o termo 4x^{3}y^{-2} 4x^{3}\cdot(-2)y^{-3}=-8x^{3}y^{-3}.
o termo 3y^{-1} 3\cdot(-1)y^{-2}=-3y^{-2}.
Portanto
\frac{\partial M}{\partial y}=-8\frac{x^{3}}{y^{3}}-\frac{3}{y^{2}}.

Passo 4

Calculo \displaystyle \frac{\partial N}{\partial x} passo a passo. Escrevo N em forma conveniente:
N(x,y)=3x\,y^{-2}+4y.
Derivando em relação a x (mantendo y fixo): o termo 3x\,y^{-2} é linear em x, sua derivada é 3y^{-2}. O termo 4y não depende de x, então sua derivada é 0. Assim
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{3}{y^{2}}.

Passo 5

Comparo as derivadas parciais encontradas:
\frac{\partial M}{\partial y}=-8\frac{x^{3}}{y^{3}}-\frac{3}{y^{2}} \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{3}{y^{2}}.
Claramente não são iguais em geral (para y\neq 0). Para igualá-las seria preciso que
-8\frac{x^{3}}{y^{3}}-\frac{3}{y^{2}}=\frac{3}{y^{2}},
o que reduz-se a uma relação pontual entre x e y (por exemplo y=-\tfrac{4}{3}x^{3}), mas exatidão exige igualdade em uma região inteira, não apenas numa curva. Portanto a equação não é exata na região natural y\neq 0.

Resposta

\mathrm{F}

Exercícios relacionados