Decida se são verdadeiras
ou falsas
as afirmações abaixo, justificando sua resposta.
ponto) A equação
é uma equação exata.
Passo 1
O enunciado pede que eu decida se a afirmação abaixo é verdadeira
ou falsa
e justifique:
As informações fornecidas que vou usar são:
Também observo que as expressões usam divisão por
, portanto a região natural de definição é com
. Neste passo não resolvo nada ainda, só escrevi o que o problema dá e o que pede.
Passo 2
Definição e critério de exatidão (explicado devagarinho): uma equação diferencial da forma
é exata em uma região se existe uma função potencial
tal que
Se
e
têm derivadas parciais contínuas, uma condição necessária e suficiente de exatidão é
na região considerada. Aqui, a operação
significa “derivar mantendo
fixo” e
significa “derivar mantendo
fixo”.
Passo 3
Calculo
passo a passo. Escrevo
como potências de
:
Derivo termo a termo em relação a
, lembrando que
:
o termo dá
.
o termo dá
.
Portanto
o termo
o termo
Portanto
Passo 4
Calculo
passo a passo. Escrevo
em forma conveniente:
Derivando em relação a
(mantendo
fixo): o termo
é linear em
, sua derivada é
. O termo
não depende de
, então sua derivada é
. Assim
Passo 5
Comparo as derivadas parciais encontradas:
Claramente não são iguais em geral (para
). Para igualá-las seria preciso que
o que reduz-se a uma relação pontual entre
e
(por exemplo
), mas exatidão exige igualdade em uma região inteira, não apenas numa curva. Portanto a equação não é exata na região natural
.