Resolva as equações sujeitas às condições dadas
y^{\prime}+2 y=t, \quad y(0)=-1

Passo 1

O problema pede para encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial:
y'(t) + 2\,y(t) = t,
com
y(0) = -1.
Informações dadas:
  • A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear, não homogênea.
  • A incógnita é a função y(t).
  • Há uma condição inicial em t=0 que deve determinar a constante arbitrária da solução geral.

Passo 2

Vamos usar o método do fator integrante (integrating factor), que é padrão e eficiente para equações lineares de primeira ordem. Primeiro, lembrando a forma geral:
y'(t) + p(t)\,y(t) = g(t),
o fator integrante é
\mu(t) = e^{\displaystyle\int p(t)\,dt}.
A razão: multiplicando a equação por \mu(t), o lado esquerdo passa a ser a derivada do produto \mu(t)y(t):
\mu(t) y'(t) + \mu(t) p(t) y(t) = (\mu(t) y(t))'.
Isso transforma a equação numa forma que podemos integrar diretamente.

Passo 3

No nosso caso, p(t)=2. Calculamos o fator integrante:
\mu(t) = e^{\displaystyle\int 2\,dt} = e^{2t}.

Passo 4

Multiplicando a equação original por \mu(t)=e^{2t} obtemos
e^{2t} y'(t) + 2 e^{2t} y(t) = t e^{2t}.
Pelo motivo explicado no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\bigl(e^{2t} y(t)\bigr)' = t e^{2t}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int \bigl(e^{2t} y(t)\bigr)' \,dt = \int t e^{2t}\,dt.
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^{2t} y(t). Portanto
e^{2t} y(t) = \int t e^{2t}\,dt + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Agora calculamos a integral \displaystyle\int t e^{2t}\,dt por integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolhemos u=t (então du = dt) e dv = e^{2t}dt (então v = \tfrac{1}{2} e^{2t}). Aplicando:
\int t e^{2t}\,dt = t\cdot\frac{1}{2}e^{2t} - \int \frac{1}{2} e^{2t}\,dt.
A última integral é \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2} e^{2t} = \tfrac{1}{4} e^{2t}. Portanto
\int t e^{2t}\,dt = \frac{1}{2} t e^{2t} - \frac{1}{4} e^{2t} + C.

Passo 7

Substituindo essa expressão em e^{2t} y(t) temos
e^{2t} y(t) = \frac{1}{2} t e^{2t} - \frac{1}{4} e^{2t} + C.
Dividindo ambos os lados por e^{2t} (que nunca é zero) obtemos a solução geral:
y(t) = \frac{1}{2} t - \frac{1}{4} + C e^{-2t}.
Aqui C é a constante arbitrária que vamos determinar pela condição inicial.

Passo 8

Aplicamos a condição inicial y(0)=-1. Substituindo t=0 em y(t):
y(0) = \frac{1}{2}\cdot 0 - \frac{1}{4} + C e^{0} = -\frac{1}{4} + C.
Igualando a -1:
-\frac{1}{4} + C = -1 \quad\Longrightarrow\quad C = -1 + \frac{1}{4} = -\frac{3}{4}.

Passo 9

Substituindo C = -\tfrac{3}{4} na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(t) = \frac{1}{2} t - \frac{1}{4} - \frac{3}{4} e^{-2t}.

Passo 10

(Mini-checagem rápida) Podemos verificar que a solução satisfaz a equação: calcule y'(t)
y'(t) = \frac{1}{2} - \frac{3}{4}\cdot(-2) e^{-2t} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} e^{-2t}.
Então
y'(t) + 2y(t) = \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{2} e^{-2t}\right) + 2\left(\frac{1}{2}t - \frac{1}{4} - \frac{3}{4} e^{-2t}\right) = t,
confirmando que a solução está correta.

Resposta

\displaystyle y(t)=\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}e^{-2t}

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