Resolva as equações sujeitas às condições dadas
Passo 1
O problema pede para encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial:
com
Informações dadas:
- A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear, não homogênea.
- A incógnita é a função
. - Há uma condição inicial em
que deve determinar a constante arbitrária da solução geral.
Passo 2
Vamos usar o método do fator integrante (integrating factor), que é padrão e eficiente para equações lineares de primeira ordem. Primeiro, lembrando a forma geral:
o fator integrante é
A razão: multiplicando a equação por
, o lado esquerdo passa a ser a derivada do produto
:
Isso transforma a equação numa forma que podemos integrar diretamente.
Passo 3
No nosso caso,
. Calculamos o fator integrante:
Passo 4
Multiplicando a equação original por
obtemos
Pelo motivo explicado no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Portanto
onde
é constante de integração.
Passo 6
Agora calculamos a integral
por integração por partes. A fórmula de integração por partes é
Escolhemos
(então
) e
(então
). Aplicando:
A última integral é
. Portanto
Passo 7
Substituindo essa expressão em
temos
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero) obtemos a solução geral:
Aqui
é a constante arbitrária que vamos determinar pela condição inicial.
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
em
:
Igualando a
:
Passo 9
Substituindo
na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Passo 10
(Mini-checagem rápida) Podemos verificar que a solução satisfaz a equação: calcule
Então
confirmando que a solução está correta.