Resolva as seguintes equações diferenciais:
(1,5 ponto) y^{\prime}=-h \sqrt{y}, onde h é uma constante;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = -h \sqrt{y},
onde h é uma constante. Informações importantes fornecidas:
  • A incógnita é a função y(x) dependente de x.
  • y' significa \dfrac{dy}{dx}.
  • O termo \sqrt{y} exige que, para interpretarmos a raiz real, tenhamos y\ge 0 no intervalo em que a solução for considerada.
  • Não foi dada condição inicial; portanto procuramos a família geral de soluções (e também observações sobre domínios possíveis).

Passo 2

Vamos usar o método de separação de variáveis. Explico o que isso significa: numa equação da forma \dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y) conseguimos escrever todos os fatores com y de um lado e todos os fatores com x do outro, e depois integrar cada lado. Aqui a equação já está num formato separável porque o lado direito depende só de y (multiplicado por uma constante).

Passo 3

Escrevo a equação e separo as variáveis. Partindo de
\frac{dy}{dx} = -h\sqrt{y},
posso escrever, desde que y>0 (explico a exceção depois),
\frac{dy}{\sqrt{y}} = -h\,dx.
Observe que dividir por \sqrt{y} exige atenção: se y=0 identicamente, não podemos dividir — essa é uma solução especial que vamos tratar à parte.

Passo 4

Agora integro os dois lados. Lembre que \dfrac{d}{dy}(\sqrt{y})=\dfrac{1}{2\sqrt{y}}, ou seja \displaystyle\int y^{-1/2}\,dy = 2\sqrt{y}. Portanto
\int \frac{dy}{\sqrt{y}} = \int -h\,dx
leva a
2\sqrt{y} = -h x + C,
onde C é a constante de integração. Dividindo por 2 e isolando \sqrt{y} obtemos
\sqrt{y} = \frac{C}{2} - \frac{h}{2}x.
É útil renomear a constante: defina A=\dfrac{C}{2}. Então
\sqrt{y} = A - \frac{h}{2}x.

Passo 5

Elevo ao quadrado para obter y:
y(x) = \left(A - \frac{h}{2}x\right)^{2}.
Mas atenção importante sobre sinais e domínios: por definição \sqrt{y}\ge 0, então a expressão à direita antes de elevar ao quadrado deve ser não negativa no intervalo onde a solução for válida:
A - \frac{h}{2}x \ge 0.
Isso determina o intervalo de validade da fórmula geral. Se uma condição inicial y(x_0)=y_0 for dada com y_0\ge0, então A = \sqrt{y_0} + \dfrac{h}{2}x_0.

Passo 6

Tratamento da solução singular y\equiv 0: Ao separar dividimos por \sqrt{y}, portanto perdemos a solução constante y(x)=0. Verificamos que y\equiv 0 é solução da equação original porque y'=0 e -h\sqrt{0}=0. Logo y\equiv 0 também faz parte do conjunto de soluções.
Comportamento e extensão até o “tempo de extinção”: se A>0 e h>0, a função \sqrt{y}=A-\dfrac{h}{2}x decresce linearmente e atinge zero em x^*=\dfrac{2A}{h}. Para x>x^* a expressão A-\dfrac{h}{2}x ficaria negativa, o que não corresponde à \sqrt{y}. O que se faz habitualmente é considerar a solução dada pela fórmula quadrada até x^* e estendê-la por y\equiv 0 para x\ge x^* (essa é a solução contínua e compatível com a equação fraca). Se h<0 a raiz cresce linearmente e não há “extinção” para frente.

Passo 7

Resumo das soluções encontradas:
  • Família geral (obtida por separação): \displaystyle y(x)=\left(A-\frac{h}{2}x\right)^{2}, válida em qualquer intervalo onde \displaystyle A-\frac{h}{2}x\ge 0, com A constante real determinada por uma condição inicial por A=\sqrt{y(x_0)}+\dfrac{h}{2}x_0.
  • Solução singular: y(x)\equiv 0, que também satisfaz a equação e que pode ser a continuação da solução quadrada após o instante em que a raiz atinge zero (quando isso ocorre).

Resposta

y(x)=\left(A-\dfrac{h}{2}x\right)^{2}, válida onde A-\dfrac{h}{2}x\ge 0 (constante A arbitrária)\n
y(x)\equiv 0

Exercícios relacionados