Resolva as seguintes equações diferenciais:
(1,5 ponto)
, onde
é uma constante;
(1,5 ponto)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
onde
é uma constante. Informações importantes fornecidas:
- A incógnita é a função
dependente de . -
significa . - O termo
exige que, para interpretarmos a raiz real, tenhamos no intervalo em que a solução for considerada. - Não foi dada condição inicial; portanto procuramos a família geral de soluções (e também observações sobre domínios possíveis).
Passo 2
Vamos usar o método de separação de variáveis. Explico o que isso significa: numa equação da forma
conseguimos escrever todos os fatores com
de um lado e todos os fatores com
do outro, e depois integrar cada lado. Aqui a equação já está num formato separável porque o lado direito depende só de
(multiplicado por uma constante).
Passo 3
Escrevo a equação e separo as variáveis. Partindo de
posso escrever, desde que
(explico a exceção depois),
Observe que dividir por
exige atenção: se
identicamente, não podemos dividir — essa é uma solução especial que vamos tratar à parte.
Passo 4
Agora integro os dois lados. Lembre que
, ou seja
. Portanto
leva a
onde
é a constante de integração. Dividindo por
e isolando
obtemos
É útil renomear a constante: defina
. Então
Passo 5
Elevo ao quadrado para obter
:
Mas atenção importante sobre sinais e domínios: por definição
, então a expressão à direita antes de elevar ao quadrado deve ser não negativa no intervalo onde a solução for válida:
Isso determina o intervalo de validade da fórmula geral. Se uma condição inicial
for dada com
, então
.
Passo 6
Tratamento da solução singular
: Ao separar dividimos por
, portanto perdemos a solução constante
. Verificamos que
é solução da equação original porque
e
. Logo
também faz parte do conjunto de soluções.
Comportamento e extensão até o “tempo de extinção”: se
e
, a função
decresce linearmente e atinge zero em
. Para
a expressão
ficaria negativa, o que não corresponde à
. O que se faz habitualmente é considerar a solução dada pela fórmula quadrada até
e estendê-la por
para
(essa é a solução contínua e compatível com a equação fraca). Se
a raiz cresce linearmente e não há “extinção” para frente.
Passo 7
Resumo das soluções encontradas:
- Família geral (obtida por separação):
, válida em qualquer intervalo onde , com constante real determinada por uma condição inicial por . - Solução singular:
, que também satisfaz a equação e que pode ser a continuação da solução quadrada após o instante em que a raiz atinge zero (quando isso ocorre).