Decida se são verdadeiras (\mathrm{V}) ou falsas (\mathrm{F}) as afirmações abaixo, justificando sua resposta.
( 1,0 ponto) O grau e a ordem da equação diferencial \left(\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}\right)^{2}-3 y\left(\frac{\partial^{3} y}{\partial x^{3}}\right)+x y=0 coincidem.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}\right)^{2}-3\,y\left(\frac{\partial^{3} y}{\partial x^{3}}\right)+x\,y=0
e pede para decidir se a afirmação “o grau e a ordem da equação diferencial coincidem” é verdadeira (V) ou falsa (F). As informações relevantes são: a presença de \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}, de \frac{\partial^{3} y}{\partial x^{3}}, do fator y e do termo x y.

Passo 2

Definição de ordem (explicada passo a passo): a ordem de uma equação diferencial é o maior índice de derivada que aparece na equação. Por exemplo, na equação \frac{d^2 y}{dx^2}+ \sin\!\left(\frac{dy}{dx}\right)=0 a maior derivada é \frac{d^2 y}{dx^2}, então a ordem é 2. Aqui só precisamos identificar qual é a derivada de ordem mais alta que aparece.
Definição de grau (explicada passo a passo): o grau de uma equação diferencial é o expoente (maior potência) com que aparece a derivada de maior ordem, depois que a equação estiver escrita de forma polinomial em relação às derivadas (ou seja, sem raízes, frações que contenham derivadas, nem expoentes não inteiros nas derivadas). Por exemplo, em \left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)^3 + \frac{dy}{dx}=0 a ordem é 2 e o grau é 3. Se a derivada de maior ordem aparece apenas na primeira potência (linearmente), o grau é 1.

Passo 3

Identificação das derivadas presentes na equação dada: vemos os termos \left(\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}\right)^{2} e -3\,y\left(\frac{\partial^{3} y}{\partial x^{3}}\right). A derivada de maior ordem que aparece é \frac{\partial^{3} y}{\partial x^{3}}. Portanto, pela definição do Passo 2, a ordem da equação é 3.
Cálculo do grau: observe o termo que contém a derivada de maior ordem: é -3\,y\left(\frac{\partial^{3} y}{\partial x^{3}}\right). Nesse termo a derivada \frac{\partial^{3} y}{\partial x^{3}} aparece elevada à potência 1 (aparece linearmente), e não há raízes nem frações envolvendo essa derivada que impediriam a interpretação polinomial. Portanto, o grau da equação é 1.

Passo 4

Comparação e conclusão: a ordem é 3 (Passo 4) e o grau é 1 (Passo 5). Como 3\neq 1, o grau e a ordem não coincidem. Um comentário de reforço: o fato de existir \left(\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}\right)^{2} não altera o grau porque o grau é determinado pela potência da derivada de maior ordem (a de terceira ordem), e essa aparece na primeira potência.

Resposta

Falsa

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