Decida se são verdadeiras
ou falsas
as afirmações abaixo, justificando sua resposta.
( 1,0 ponto) O grau e a ordem da equação diferencial
coincidem.
( 1,0 ponto) O grau e a ordem da equação diferencial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para decidir se a afirmação “o grau e a ordem da equação diferencial coincidem” é verdadeira (V) ou falsa (F). As informações relevantes são: a presença de
, de
, do fator
e do termo
.
Passo 2
Definição de ordem (explicada passo a passo): a ordem de uma equação diferencial é o maior índice de derivada que aparece na equação. Por exemplo, na equação
a maior derivada é
, então a ordem é
. Aqui só precisamos identificar qual é a derivada de ordem mais alta que aparece.
Definição de grau (explicada passo a passo): o grau de uma equação diferencial é o expoente (maior potência) com que aparece a derivada de maior ordem, depois que a equação estiver escrita de forma polinomial em relação às derivadas (ou seja, sem raízes, frações que contenham derivadas, nem expoentes não inteiros nas derivadas). Por exemplo, em
a ordem é
e o grau é
. Se a derivada de maior ordem aparece apenas na primeira potência (linearmente), o grau é
.
Passo 3
Identificação das derivadas presentes na equação dada: vemos os termos
e
. A derivada de maior ordem que aparece é
. Portanto, pela definição do Passo 2, a ordem da equação é
.
Cálculo do grau: observe o termo que contém a derivada de maior ordem: é
. Nesse termo a derivada
aparece elevada à potência
(aparece linearmente), e não há raízes nem frações envolvendo essa derivada que impediriam a interpretação polinomial. Portanto, o grau da equação é
.
Passo 4
Comparação e conclusão: a ordem é
(Passo 4) e o grau é
(Passo 5). Como
, o grau e a ordem não coincidem. Um comentário de reforço: o fato de existir
não altera o grau porque o grau é determinado pela potência da derivada de maior ordem (a de terceira ordem), e essa aparece na primeira potência.
Resposta
Falsa