Resolva as equações sujeitas às condições dadas
Passo 1
O enunciado pede que resolvamos a equação diferencial com condição inicial
Informações dadas:
- A equação é de primeira ordem, envolvendo
e . - A condição inicial é
.
O que se quer: encontrar a funçãoque satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem
Aqui identificamos
Explicação curta:
é a função que multiplica
quando a equação é escrita nessa forma;
é o termo independente (lado direito).
Passo 3
Vamos usar o fator integrante (método padrão). O fator integrante
é dado por
Isso serve para tornar o lado esquerdo da equação a derivada de
. Calculando aqui:
Observação: a constante de integração pode ser ignorada no fator integrante porque fatores multiplicativos constantes não mudam a técnica.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Obtemos
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. De fato,
Logo podemos reescrever a equação como
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso dá
onde
é a constante de integração. (Aqui usamos
.)
Passo 6
Isolamos
multiplicando por
:
Interpretação: a solução geral é a soma de uma solução particular (a constante
) e da solução geral da homogênea
.
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
em
temos
Portanto
Passo 8
Substituindo
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Verificação rápida:
e então
, ok.