Resolva as equações sujeitas às condições dadas
y^{\prime}-y=1, \quad y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede que resolvamos a equação diferencial com condição inicial
y' - y = 1,\qquad y(0)=0.
Informações dadas:
  • A equação é de primeira ordem, envolvendo y'(x) e y(x).
  • A condição inicial é y(0)=0.
    O que se quer: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem
y' + p(x)\,y = q(x).
Aqui identificamos
p(x) = -1,\qquad q(x)=1.
Explicação curta: p(x) é a função que multiplica y quando a equação é escrita nessa forma; q(x) é o termo independente (lado direito).

Passo 3

Vamos usar o fator integrante (método padrão). O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Isso serve para tornar o lado esquerdo da equação a derivada de \mu(x)y. Calculando aqui:
\mu(x)=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}.
Observação: a constante de integração pode ser ignorada no fator integrante porque fatores multiplicativos constantes não mudam a técnica.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{-x}. Obtemos
e^{-x}y' - e^{-x}y = e^{-x}.
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{-x}y. De fato,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr)=e^{-x}y' + (e^{-x})'y = e^{-x}y' - e^{-x}y.
Logo podemos reescrever a equação como
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr)=e^{-x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr)\,dx=\int e^{-x}\,dx.
Isso dá
e^{-x}y = -e^{-x} + C,
onde C é a constante de integração. (Aqui usamos \int e^{-x}dx=-e^{-x}+C.)

Passo 6

Isolamos y multiplicando por e^{x}:
y = -1 + C e^{x}.
Interpretação: a solução geral é a soma de uma solução particular (a constante -1) e da solução geral da homogênea C e^{x}.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(0)=0. Substituindo x=0 em y=-1+Ce^{x} temos
0 = -1 + C e^{0} = -1 + C.
Portanto
C=1.

Passo 8

Substituindo C=1 na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x)= -1 + e^{x} = e^{x}-1.
Verificação rápida: y'(x)=e^{x} e então y'-y=e^{x}-(e^{x}-1)=1, ok.

Resposta

y(x)=e^{x}-1

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