Decida se o seguinte conjunto é LI ou LD e justifique.
p1(t)=3 t^2+3 t-8, p2(t)=-t^2+5 t+7

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de polinômios
p1(t)=3t^2+3t-8,;p2(t)=-t^2+5t+7
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD).
O espaço ambiente é o de polinômios de grau <=2, P2.
Para isso, vamos usar o critério de combinação linear trivial:
se a única solução da equação
c1p1(t)+c2p2(t)equiv 0
for c1=c2=0, então o conjunto é LI; caso contrário, é LD.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear nula:
c1(3t^2+3t-8)+c2(-t^2+5t+7)equiv 0
Expandindo em potências de t, obtemos o polinômio
(3c1-c2),t^2 ;+;(3c1+5c2),t ;+;(-8c1+7c2) equiv 0
Para ser o polinômio zero, cada coeficiente deve ser zero.

Passo 3

Igualando coeficientes a zero, formamos o sistema
3c1-c2=0, 3c1+5c2=0, -8c1+7c2=0
Da primeira equação vem c2=3c1. Substituindo na segunda:
3c1+5(3c1)=3c1+15c1=18c1=0 ;Longrightarrow;c1=0 ;Longrightarrow;c2=0
A terceira equação confirma consistentemente c1=0.

Resposta

O conjunto é linearmente independente (LI), pois a única solução da combinação linear nula é c1=c2=0.

Exercícios relacionados