Exercício 7. Sejam
e
espaços vetoriais de dimensão finita e
uma transformação linear. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para provar o Teorema Núcleo–Imagem (ou Teorema da Dimensão) para a transformação linear
, onde
tem dimensão finita. Vamos usar a ideia de escolher uma base do núcleo de
e estendê-la a uma base de
, obtendo assim informação sobre a imagem de
.
Passo 2
Seja . Tome
como base de . Como
é finito, podemos estender esse conjunto a uma base de
:
onde
. Logo há exatamente
vetores
que, junto com os
, formam base de
.
Passo 3
Considere o conjunto de imagens
.
- Geração: para qualquer
escrevemos
Aplicando
, como
, obtemos
ou seja, todo vetor de
é combinação linear de
.
2. Independência: suponha que
.
Isso significa , logo . Mas como
é base de
, a única combinação que fica no subespaço gerado por
é a trivial em
. Assim, todos
.
2. Independência: suponha que
Isso significa
Portanto
é base de
e
Passo 4
Juntando os resultados, como e
, concluímos