Exercício 7. Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão finita e T: U V uma transformação linear. Mostre que
dim(Nuc T)+dim(Im T)=dim U

Passo 1

O enunciado pede para provar o Teorema Núcleo–Imagem (ou Teorema da Dimensão) para a transformação linear Tcolon Uto V, onde U tem dimensão finita. Vamos usar a ideia de escolher uma base do núcleo de T e estendê-la a uma base de U, obtendo assim informação sobre a imagem de T.

Passo 2

Seja . Tome como base de . Como é finito, podemos estender esse conjunto a uma base de :
onde . Logo há exatamente vetores que, junto com os , formam base de .

Passo 3

Considere o conjunto de imagens
.
  1. Geração: para qualquer escrevemos
Aplicando , como , obtemos
ou seja, todo vetor de é combinação linear de .
2. Independência: suponha que
.
Isso significa , logo . Mas como é base de , a única combinação que fica no subespaço gerado por é a trivial em . Assim, todos .
Portanto é base de e

Passo 4

Juntando os resultados, como e , concluímos

Resposta

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