Dizemos que uma matriz A m x n tem uma inversa à direita se existe uma matriz C n times m tal que AC=Im. Dizemos que A tem uma inversa à esquerda se existe uma matriz D n times m tal que D A=In.
(a) Mostre que, se A tem inversa à direita, então os vetores colunas de A geram R^m.
(b) É possível para uma matriz m times n ter uma inversa à direita se n<m ? E se n >= m ? Explique.

Passo 1

O enunciado trata de uma matriz A de tamanho mtimes n. Dizemos que A tem inversa à direita se existe uma matriz C de tamanho ntimes m tal que
AC = Im
Na parte (a) precisamos mostrar que, sob essa condição, as colunas de A geram R^m. Na parte (b) vamos discutir a possibilidade de existir essa inversa à direita quando n<m e quando n>= m, usando ideias de dimensão do espaço coluna e posto de A.

Passo 2

Suponha que exista C tal que AC=Im. Tome um vetor qualquer vinR^m. Então
v = Im,v = (AC),v = A,(C,v)
Como C,v é um vetor em R^n, A,(C,v) é combinação linear das colunas de A. Logo qualquer vinR^m pode ser escrito como combinação das colunas de A, ou seja, as colunas de A geram R^m.

Passo 3

Se n<m, então A possui somente n colunas em R^m. Mas um conjunto de menos de m vetores em R^m não pode gerar todo R^m. Como em (a) vimos que colunas de A deveriam gerar R^m, concluímos que não existe inversa à direita quando n<m.

Passo 4

Se n>= m, é possível que as colunas de A (que são n vetores em R^m) gerem R^m, desde que o posto de A seja m. Nesse caso rank(A)=m e podemos construir uma matriz C de modo que AC=Im (por exemplo, completando uma base de colunas de A e definindo C linha a linha para resolver o sistema AC=Im). Assim, para n>= m, existe inversa à direita exatamente quando rank(A)=m.

Resposta

(a) Se AC=Im, então para todo vinR^m vale v=A(Cv), de modo que v é combinação linear das colunas de A. Portanto as colunas de A geram R^m.
(b) Não é possível ter inversa à direita se n<m, pois aí as colunas de A são menos de m vetores em R^m e não podem gerar todo o espaço. Se n>= m, pode existir inversa à direita desde que rank(A)=m.

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