Dizemos que uma matriz A m x n tem uma inversa à direita se existe uma matriz C
tal que
. Dizemos que A tem uma inversa à esquerda se existe uma matriz
tal que
.
(a) Mostre que, se
tem inversa à direita, então os vetores colunas de
geram
.
(b) É possível para uma matriz
ter uma inversa à direita se
? E se
? Explique.
(a) Mostre que, se
(b) É possível para uma matriz
Passo 1
O enunciado trata de uma matriz
de tamanho
. Dizemos que
tem inversa à direita se existe uma matriz
de tamanho
tal que
Na parte (a) precisamos mostrar que, sob essa condição, as colunas de
geram
. Na parte (b) vamos discutir a possibilidade de existir essa inversa à direita quando
e quando
, usando ideias de dimensão do espaço coluna e posto de
.
Passo 2
Suponha que exista
tal que
. Tome um vetor qualquer
. Então
Como
é um vetor em
,
é combinação linear das colunas de
. Logo qualquer
pode ser escrito como combinação das colunas de
, ou seja, as colunas de
geram
.
Passo 3
Se
, então
possui somente
colunas em
. Mas um conjunto de menos de
vetores em
não pode gerar todo
. Como em (a) vimos que colunas de
deveriam gerar
, concluímos que não existe inversa à direita quando
.
Passo 4
Se
, é possível que as colunas de
(que são
vetores em
) gerem
, desde que o posto de
seja
. Nesse caso
e podemos construir uma matriz
de modo que
(por exemplo, completando uma base de colunas de
e definindo
linha a linha para resolver o sistema
). Assim, para
, existe inversa à direita exatamente quando
.
Resposta
(a) Se
, então para todo
vale
, de modo que
é combinação linear das colunas de
. Portanto as colunas de
geram
.
(b) Não é possível ter inversa à direita se
, pois aí as colunas de
são menos de
vetores em
e não podem gerar todo o espaço. Se
, pode existir inversa à direita desde que
.