Decida se a seguinte integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule seu valor.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente decidir se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Se ela for convergente, a gente também precisa calcular o valor dessa integral. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais impróprias, convergência e métodos de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Uma integral imprópria ocorre quando o intervalo de integração é infinito ou quando a função que estamos integrando tem descontinuidades no intervalo. No nosso caso, estamos integrando de
a
, então o intervalo é infinito, tornando a integral imprópria.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essa integral é convergente ou divergente. Uma integral é convergente se ela tende a um valor finito quando o intervalo de integração vai até o infinito. Do contrário, ela é divergente.
Para verificar a convergência, podemos analisar o comportamento da função
quando
se aproxima de
.
Passo 4
Vamos analisar o limite da função quando
tende a
:
Como a função tende a zero, isso sugere que a integral pode ser convergente. Para confirmar, podemos comparar com uma função mais simples cuja integral já conhecemos, por exemplo,
.
Sabemos que:
Como
para todo
, e a integral de
converge, pela Regra da Comparação, nossa integral original também é convergente.
Passo 5
Agora que sabemos que a integral é convergente, vamos calcular seu valor. A integral que queremos resolver é:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, então
, o que implica que
.
Quando
,
.
Quando
,
.
Substituindo na integral:
Podemos decompor a fração usando frações parciais:
Resolvendo para
e
:
Escolhendo
:
Escolhendo
:
Então:
Agora, a integral fica:
Calculando os limites:
Para
:
Para
:
Portanto:
Resposta
A integral
é convergente e seu valor é
.