Decida se a seguinte integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule seu valor.
integral0^infty 1e^x+1 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente decidir se a integral imprópria integral0^infty 1e^x+1 dx é convergente ou divergente. Se ela for convergente, a gente também precisa calcular o valor dessa integral. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais impróprias, convergência e métodos de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Uma integral imprópria ocorre quando o intervalo de integração é infinito ou quando a função que estamos integrando tem descontinuidades no intervalo. No nosso caso, estamos integrando de 0 a +infty, então o intervalo é infinito, tornando a integral imprópria.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essa integral é convergente ou divergente. Uma integral é convergente se ela tende a um valor finito quando o intervalo de integração vai até o infinito. Do contrário, ela é divergente.
Para verificar a convergência, podemos analisar o comportamento da função 1e^x+1 quando x se aproxima de +infty.

Passo 4

Vamos analisar o limite da função quando x tende a +infty:
limx to infty 1e^x + 1 = limx to infty 1e^x = 0
Como a função tende a zero, isso sugere que a integral pode ser convergente. Para confirmar, podemos comparar com uma função mais simples cuja integral já conhecemos, por exemplo, 1e^x.
Sabemos que:
integral0^infty 1e^x dx = integral0^infty e^-x dx = 1
Como 1e^x+1 < 1e^x para todo x > 0, e a integral de 1e^x converge, pela Regra da Comparação, nossa integral original também é convergente.

Passo 5

Agora que sabemos que a integral é convergente, vamos calcular seu valor. A integral que queremos resolver é:
integral0^infty 1e^x + 1 dx
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja u = e^x, então du = e^x dx, o que implica que dx = duu.
Quando x = 0, u = e^0 = 1.
Quando x to infty, u to infty.
Substituindo na integral:
integral1^infty 1u + 1 cdot 1u du = integral1^infty 1u(u + 1) du
Podemos decompor a fração usando frações parciais:
1u(u + 1) = Au + Bu + 1
Resolvendo para A e B:
1 = A(u + 1) + B u
Escolhendo u = -1:
1 = A(0) + B(-1) Rightarrow B = -1
Escolhendo u = 0:
1 = A(1) + B(0) Rightarrow A = 1
Então:
1u(u + 1) = 1u - 1u + 1
Agora, a integral fica:
integral1^infty ( 1u - 1u + 1 ) du = [ ln|u| - ln|u + 1| ]1^infty
Calculando os limites:
Para u to infty:
ln u - ln (u + 1) approx ln u - ln u = 0
Para u = 1:
ln 1 - ln 2 = 0 - ln 2 = -ln 2
Portanto:
0 - (-ln 2) = ln 2

Resposta

A integral integral0^infty 1e^x+1 dx é convergente e seu valor é ln 2.

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